2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

二次函数与一元二次方程、不等式

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.如：.

一元二次不等式的一般形式：或.

设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为

要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

要点诠释：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

要点三、解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法

例1. 解下列一元二次不等式

（1）；    （2）；    （3）

【解析】（1）不等式的解集是.

（2）原不等式的解集是

（3）原不等式整理得.

因为，方程无实数解，

所以原不等式的解集是.

举一反三：

【变式1】解不等式：

【答案】原不等式可化为不等式组

    ，即，即，

解得

∴原不等式的解集为.

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法

例2．已知2a+1<0，关于x的不等式的解集是（  ）

A.{x|x>5a或x<-a}                  B.{x|-a<x<5a}

C. {x|x<5a或x>-a}                  D.{x|5a<x<-a}

     【答案】选C. 不等式可化为：(x-5a)(x+a)>0;

            ∵方程(x-5a)(x+a)的两根为：

             且2a+1<0，∴a<-， ∴  5a<-a

             ∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}。

【变式1】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．

【答案】当a＞0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，不等式的解集为.

【变式2】已知集合A={x｜x2―2ax―8a2≤0}。

（1）当a=1时，求集合；

（2）若a＞0，且，求实数a的取值范围。

【答案】（1）当a=1时，x2―2ax―8a2≤0化为x2―2x―8≤0，

解得：－2≤x≤4 ； ∴A={x｜－2≤x≤4}。

；

（2）由x2―2ax―8a2≤0，且a＞0，得－2a≤x≤4a。

∴A={x｜－2a≤x≤4a}。

由，得：，解得。

∴实数a的取值范围是。

【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0

【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；

若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.

方程的判别式△=1-4a

 (Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，

故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为实数集R；

 (Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，

故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根

，，

①当时，函数的图象开口向上，

与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

②当a<0时，函数的图象开口向下，

与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

综上所述：

a<0时，原不等式解集为；

a=0时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为实数集R.

例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.

【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；

若a＜0，原不等式或x＞1；

若a＞0，原不等式，

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当a=1时，原不等式；

（2）当a＞1时，原不等式；

（3）当0＜a＜1时，原不等式

综上所述：当a＜0，解集为；当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为；当a＞1时，解集为.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【答案】当a=0时，x∈(-,2].

当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为

①当a>0时，若， 即时，；

若， 即时，x∈R；

若， 即时，.

②当a<0时，则有：，  ∴ .

【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；

【答案】当a=0时，.

当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，

①a>0时，则Δ>0，.

②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；

若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；

若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， .

类型三：一元二次不等式的逆向运用

例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【解析】由题意可知方程的两根为和

由韦达定理有，

∴，

∴化为，即

，解得，

故不等式的解集为.

举一反三：

【变式1】设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1},则a的值是（   ）

 A.-2          B.-1           C.0          D.1

【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1}，

∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，

∴或x=-1,

即a的值是1，故选D。

【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.

【答案】由韦达定理有：，，∴,.

∴代入不等式得，

即，，解得，

故不等式的解集为：.

【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【答案】由韦达定理有：，解得,

代入不等式得

，即，解得或.

∴的解集为：.

类型四：不等式的恒成立问题

例5．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】

(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5

若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.

(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，

由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，

所以，

    即， ∴ 1<m<19.

    综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.

举一反三：

【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.

【答案】关于的不等式的解集为空集

即的解集为R

当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.

当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，

即，解得，

综上，的取值范围为：.

【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，

求实数a的取值范围．

【答案】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，

显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

从而有

整理，得

解得a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

【巩固练习】

1. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．

1.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，

所以原不等式的解集为R.

当m≠0时，m2＞0，

由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，

即，

若m＞0，则，

所以原不等式的解集为；

若m＜0，则，

所以原不等式的解集为.

综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；

当m＞0时，原不等式的解集为；

当m＜0时，原不等式的解集为.

2．已知，

(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

2．【解析】

(1)由题意得：△=，即0<a<4；

(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：

或 

综上所述：.

3. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．

(1)用区间表示A和B；

(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．

3. 【解析】　不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.

(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，

所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．

当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；

当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．

(2)要使A∪B＝R，则

当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；

当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．

所以不存在实数a，使得A∪B＝R.