1.4 充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

充分条件与必要条件

【要点梳理】

要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念

符号与的含义

“若，则”为真命题，记作：；

“若，则”为假命题，记作：.

充分条件、必要条件与充要条件

①若，称是的充分条件，是的必要条件.

②若既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.

要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.

①“若，则”为真命题；

②是的充分条件；

③是的必要条件

以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.

要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；

②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；

③若，且，即，则、互为充要条件；

④若，且，则是的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，q：x∈B，

①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；

②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；

③若A=B，则、互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.

要点三、充要条件的证明

    要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释：对于命题“若，则”

①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；

②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；

③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.

【典型例题】

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．

【解析】，故，但，

∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．

举一反三：

【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？

(1) : ， : ；

(2) : ，: 抛物线过原点

(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等

【答案】(1)∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分条件；

(2)∵且,∴是的充要条件；

(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件.

【变式2】判断下列各题中是的什么条件.

（1）:且, :      （2）:, : .

【答案】（1）是的充分不必要条件.

∵且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.∴必要性不成立.

（2）是的既不充分也不必要条件

∵在的条件下才有成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.

【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，

那么丙是甲的（    ）.

A、充分非必要条件     B、必要非充分条件

C、充要条件           D、既不充分也不必要条件

【答案】A；【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.

于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）

故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.

例2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的（    ）

    （A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件

    （C）充要条件            （D）既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】的解集为（1，3），的解集为，

故 是的充分不必要条件。

举一反三：

【变式1】已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（     ）

（A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件

（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件

【答案】选（A）；q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.

如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ， pq，但qp.

【变式2】下列叙述中正确的是(　　)

A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”

C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

【答案】(1)对于选项A，“b2－4ac≤0”是“ax2＋bx＋c≥0”必要不充分条件．故选项A不正确．

(2)对于选项B，“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故选项B不正确．

(3)对于选项C结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，“存在x∈R，有x2＜0”．故选项C不正确．

(4)对于选项D；命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故答案为：D

【变式3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（    ）

   A.      B.      C.      D.

【答案】A

【变式4】已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】 p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；

q ：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的必要不充分条件。故选B。

类型二：充要条件的探求与证明

例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【解析】

（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|

如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.

当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.

总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.

综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

举一反三：

【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,

∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.

（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，则x1·x2=<0，∴ac<0

综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

【答案】（1）a=0时适合.

（2）当a≠0时，显然方程没有零根，

两异号的实根，须满足；两个负的实根，须满足

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1

类型三：充要条件的应用

例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.

【解析】由，解得：

又由，解得：

p是q的充分不必要条件，所以：或 解得

【变式1】已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，

∵p是q的充分不必要条件，∴，即A是B的真子集，

可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内

∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.