1.1 集合及集合表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

集合及集合的表示

要点一：集合的有关概念

1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.

要点诠释：

（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．

（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．

3．关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

要点诠释：

集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．

解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”．

4．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作

5．集合的分类

(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.

(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.

(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.

6．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

要点二：集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….

3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{    }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

要点诠释：

（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．

4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.

【典型例题】

类型一：集合的概念及元素的性质

例1．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？

【答案】是

【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知

均有，，即.

举一反三：

【变式1】设

(1)若aZ，则是否有aS？

(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？

解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；

(2)x1，x2S，则

∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z

∴x1·x2S.

类型二：元素与集合的关系

例2．给出下列六个关系：

（1）0     （2）0{－1，1}       （3）{0}

（4）{0}    （5）{0}{0，1}       （6）{0}{0}

其中正确的关系是              ．

【答案】（2）（4）（6）

举一反三：

【变式1】 用符号“”或“”填空

（1）若,则        ；-2       .

（2）若则        ；-2       .

【答案】（1），  （2），

类型三：集合中元素性质的应用

例3.设M={1，2}，N={1，2，3}，，则集合P中元素个数为    ．

【答案】4个【解析】集合P中的元素满足c=a+b，且，所以由aM，bN

当a=1，b=1时，c=1+1=2；当a=1，b=2时，c=1+2=3；当a=1，b=3时，c=1+3=4；

当a=2，b=1时，c=2+1=3；当a=2，b=2时，c=2+2=4；当a=2，b=3时，c=2+3=5；

故根据元素的互异性，P中元素，即P={2，3，4，5}，答案为4个．

例4. ，则M=(    )

A.{2，3}    B.{1，2，3，4}    C.{1，2，3，6}    D.{-1，2，3，4}

【答案】D【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以

由aZ，所以-1≤a≤4，当a=-1时，符合题意；

当a=0时，不符合题意；当a=1时，不符合题意；

当a=2时，符合题意；当a=3时，符合题意；

当a=4时，符合题意.

故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.

例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.

【答案】0，1【解析】当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.

当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.

例6.已知集合，若，求实数的值及集合.

【解析】（1）若则.所以，则应舍去.

（2）若，则或，当时，满足题意；

当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.

（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.

综上，，集合.

举一反三：

【变式1】已知集合，且－3∈A，求a的值．

【解析】∵ －3∈A，∴ a－2=－3，或，

得a=－1，或，检验知：a=－1不满足集合元素的互异性，

∴ ，答案为．

例7．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ，且

（1）若3∈A，求A；

（2）证明：若a∈A，则；

（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．

【解析】（1）∵ 3∈A，∴ ，∴

∴ ，∴

（2）∵ a∈A，∴ ，∴

（3）假设集合A只有一个元素，∏A={a}，则，即有且只有一个解，

又因为，∴ 无实数解．

与有且只有一个实数解矛盾．所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素．

类型四：集合的表示方法

例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程的所有实数根组成的集合；

(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.

【解析】(1)用描述法表示为；

    用列举法表示为.

(2)用描述法表示为；

用列举法表示为.

举一反三：

【变式1】用适当的方法表示下列集合：

（1）比5大3的数；

（2）方程的解集；

（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合．

【解析】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为．

（2）方程可化为，

方程的解集为．

（3）用描述法表示为．