2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

基本不等式

要点一：基本不等式

1.对公式及的理解.

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

2.由公式和可以引申出常用的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.

要点二：基本不等式的证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

   ∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

要点诠释：

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：

如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.

要点三：基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

要点诠释：

1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

要点四：用基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

要点诠释：

1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.

【典型例题】

类型一：对公式及的理解

例1. ，，给出下列推导，其中正确的有       .

（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.

举一反三：

【变式1】下列结论正确的是(　　)

A．当x>1时，的最小值为2      B．当x>0时，

C．当x≥2时，的最小值为2        D．当0<x≤2时，无最大值

【变式2】已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（    ）

A．当时，f（x）的最小值为

B．当时，f（x）的最小值为

C．当时，f（x）的最小值为

D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2. 已知、、都是正数，求证：

例3.已知，求证:

举一反三：

【变式1】已知、都是正数，求证：.

【变式2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.

类型三：利用基本不等式求最值

例4.  求函数()的最小值.

举一反三：

【变式1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？

【变式2】已知，求的最大值.

例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.

举一反三：

【变式1】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；

【变式2】若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于(    )

A．2      B．3      C．4      D．5

例6.已知，

（1）若,求的最小值；

（2）若,求的最大值.

类型四：利用基本不等式解应用题

例7.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【变式1】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长(单位：米)的值有关，其公式为F＝．

(Ⅰ)如果不限定车型，＝6.05，则最大车流量为　　辆/小时；

(Ⅱ)如果限定车型，＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加　　辆/小时．

【变式2】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

【巩固练习】

1．已知x，y∈R＋，且满足，则xy的最大值为________．

2. 设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．

3. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．

4. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．

5. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．

6. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？

7. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：.

8. 若a＞0，b＞0，且+＝．

(Ⅰ)求a3+b3的最小值；

(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．