专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积

一、考情分析

二、题型分析

(一) 平面向量的基本定理与坐标表示

知识点1 平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（   ）

A． B．

C． D．

（2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD中，，，，则        .（用表示）

【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（   ）

A． B． C． D．

(二) 平面向量的坐标运算

知识点2 平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

(4)a·b＝x1x2＋y1y2.

(5)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（   ）

A． B． C． D．

（2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（  ）

A．2 B． C．4 D．

【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.

（1）求向量的坐标；

（2）当为何值时，向量与向量共线.

【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.

(1) 求向量的坐标及；

(2) 若，求与同向的单位向量的坐标．

(三) 平面向量的数量积

知识点3．平面向量数量积

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(3)cos θ＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

3．平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.

(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

(3)cos θ＝.

(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.

（2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3 B．-2

C．2 D．3

【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为(   )

A． B． C．2 D．3

【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________.

【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，.

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值；

(四) 平面向量的应用（平行与垂直）

知识点1 平面向量的平行与垂直

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.

a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．

(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

(2)．(多选题)已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（    ）

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4

D．mn的最大值为2

【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.

【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;

 (1) 若，求的值；

 （2）若，，求的值.