专题12 概率（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题12 概率

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一  古典概型

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

【特别提醒】

如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.

3. 古典概型的概率公式-P(A)＝.

考点二   事件的关系与运算

考点三   概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).

三、重难点题型突破

重难点01  简单的古典概型

例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)， (4，2)，(5，1)，

而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为，故选A。

【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为。

【变式训练2】．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（      ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，

其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，

其和等于的概率。

重难点02  基本事件的关系与运算

例2．（2021·全国高一课时练习）从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是（    ）

A．① B．②④ C．③ D．①③

【答案】C

【分析】

列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.

【详解】

解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，

而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：

“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，

故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.

故选：C

【变式训练1】．（2021·全国高一课时练习）打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（    ）

A．全部击中 B．至少击中发

C．至少击中发 D．以上均不正确

【答案】B

【分析】

利用并事件的定义可得出结论.

【详解】

所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.

故选：B.

【变式训练2】．（2021·全国高一课时练习）如果事件A，B互斥，那么（    ）

A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件

C．与一定互斥 D．与一定不互斥

【答案】B

【分析】

利用集合法判断.

【详解】

如图所示：

因为事件A，B互斥，

所以是必然事件，

故选：B．

例3．（多选题）（2021·全国高一课时练习）袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是（    ）

A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件

B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件

C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件

D．至少一个黑球事件和全是白球事件

【答案】ABD

【分析】

根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.

【详解】

对于A，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A正确.

对于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B正确.

对于C，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C错误.

对于D，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D正确.

故选：ABD.

【变式训练1】（多选题）（2020·福建上杭一中高二月考）下列叙述正确的是（    ）

A．某人射击1次，"射中7环”与"射中8环"是互斥事件

B．甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标"与"没有人射中目标"是对立事件

C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于

D．若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为和，则乙同学成绩比较稳定

【答案】AB

【分析】

根据互斥事件、对立事件的定义，独立重复试验中事件的发生互不影响，方差的含义，即可判断各项的正误.

【详解】

A：根据互斥事件的定义，由于"射中7环”与"射中8环"不可能同时发生，即它们为互斥事件，故正确；

B：根据对立事件的定义，甲、乙两人各射击1次，要么"至少有1人射中目标"，要么"没有人射中目标"，这两个事件不能同时发生而且它们必有一个会发生，故正确；

C：由于抛硬币是独立重复试验，任意一次试验出现正面或反面的概率都为，故错误；

D：方差越小代表成绩越稳定，即甲同学的乘积稳定，故错误.

故选：AB.

【变式训练2】.（2021·全国高一课时练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.

（1）三个事件都发生；

（2）三个事件至少有一个发生；

（3）A发生，B，C不发生；

（4）A，B都发生，C不发生；

（5）A，B至少有一个发生，C不发生；

（6）A，B，C中恰好有两个发生.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】

由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可

【详解】

解：（1）三个事件都发生表示为；

（2）三个事件至少有一个发生表示为；

（3）A发生，B，C不发生表示为；

（4）A，B都发生，C不发生表示为；

（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；

（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为

重难点03  概率与频率

例4．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，由古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

解：基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，

则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是．

故选：A.

【变式训练1】.（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，即可求，根据每人分到橘子且为正整数即可确定其可能取值，由“子”恰好分得13个橘子可得m值，进而求概率即可.

【详解】

设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，

∴由题意有：，即，又且为正整数，

∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.

∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.

故选：B

【变式训练2】.（2021·辽宁高三其他模拟）2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为___________．

【答案】

【分析】

根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

基本事件的总数为，

小李选择康庄且小王不选择夹山的事件数为，

所以所求概率为

故答案为：

【变式训练3】.（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________.

【答案】

【分析】

求一本也不含杨辉的著作的概率，再用1减它即可.

【详解】

所求概率

故答案为：

例5．（2021·全国高一课时练习）做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.

（1）求这个试验样本点的个数；

（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.

【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.

【分析】

（1）分x=1,2,3,4，分别考虑y的不同情况，即可得到样本试验点的个数；

（2）即为x=2时的样本点的集合，由（1）的分析可得.

【详解】

（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.

（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.

【变式训练1】.2020·安徽滁州市·高二月考（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据空气质量指数趋势图，结合已知的定义、古典概型的概率计算公式进行求解即可；

（2）根据空气质量指数趋势图，结合已知的定义、古典概型的概率计算公式进行求解即可.

【详解】

（1）在3月1日至3月12日这12天中，1日、2日、3日、7日、12日共5天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是；

（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日，或4日，或5日，或6日，或7日，或8日”．

所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．

重难点04  随机模拟

例6．（2021·河南高一期中（文））已知集合，从集合中有放回地任取两元素作为点的坐标，则点落在坐标轴上的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用古典概型的概率求解.

【详解】

由已知得，基本事件共有个，其中落在坐标轴上的点为：，，，，，，，共个，

所求的概率，

故选：．

【变式训练1】.（2021·全国）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设“福”字的面积为，由几何概型建立比例关系，可以求出.

【详解】

设“福”字的面积为，

根据几何概型可知，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查几何概型的应用，属于基础题.