高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教案设计

第七章 复数

7.3.1 复数的三角表示式

一、教学目标

1. 掌握复数的三角形式，能够进行两种形式的转化; 

2. 培养转化，逻辑推理及数学运算能力;

3. 通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.复数三角表达式与代数表达式之间的互化;

2.复数三角表达式的理解．

课前准备：阅读课本思考并完成以下问题

1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？

2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?

三、教学过程：

1、创设情境：

问题1：回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?

生答：由；得；

问题2：复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

2、建构数学 

复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角

    以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角

适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π.

复数的三角表达式

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．

注意：复数三角形式的特点口诀：

“模非负，角相同，余弦前，加号连”

3、 数学应用

例1.判别下列复数是否是三角形式

①． ②．

③． ④．

解：复数的三角形式是，其中，A，B，C均不是这种形式，

①．中不满足；

②．中不满足；

③．中，不满足；

④．满足.

变式训练:下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

（1）；

(2) z2＝(cosπ－isinπ)；

解:（1）中间是“-“号，不是三角形式. ；

(2)由“加号连”知，不是三角形式．

z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，

模r＝，cos θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，

即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．

例2.把复数表示成三角形式

解:∵，

∴，，，

∴可以取，

∴所求复数的三角形式为，

变式训练:

解:（1）复数对应的向量如图所示，

则.

因为与对应的点在第一象限，所以.

于是.

  小结:复数的代数形式化三角形式的步骤:

①先求复数的模；

②决定辐角所在的象限；

③根据象限求出辐角(常取它的主值)；

④写出复数的三角形式．

两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

四、小结：

1.复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角 ;  

2.复数的三角表达式;

3.两个用三角形式表示的复数相等的充要条件

五、作业：习题7.3