高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教学设计及反思

【新教材】7.3.1 复数的三角表示式

教学设计（人教A版）

《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.

课程目标：

1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 

2. 培养学生的转化，推理及运算能力;

3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.

数学学科素养

1.数学抽象：复数三角表示的理解;

2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;

3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.

重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．

难点：复数三角表达式的理解.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

一、    情景导入

提问：

1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?

2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本83-85页，思考并完成以下问题

1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？

2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1 .复数的辐角

 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。

适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π.

2.复数的三角表达式

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

四、典例分析、举一反三

题型一  复数的三角形式

例1　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；

(2) z2＝2(cos －isin )；

(3) z3＝－sin θ＋icos θ .

【答案】(1) z1＝(cos ＋isin )．  (2) z2＝2(cos ＋isin).    (3) z3＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .

【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．

z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i，模r＝＝，cos θ＝，

与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝.

即z1＝cos 60°＋isin 30°＝(cos ＋isin )．

(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos ，－2sin )在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－”变换到第四象限．

所以z2＝2(cos －isin )＝2[(cos(2π－)＋isin (2π－)]＝2(cos ＋isin)．

(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．

所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .

解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

跟踪训练一

1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1)z1＝2(cos π＋isin π) ；

(2) z2＝(cosπ－isinπ)；

(3) z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．

【答案】(1)是三角形式．  (2) z2＝(cosπ＋isin π)．  (3) z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．

【解析】(1)z1＝2(cos π＋isin π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．

(2)由“加号连”知，不是三角形式．

z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，

模r＝，cos θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，

即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．

(3) 由“模非负”知，不是三角形式．

复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．

题型二  复数的代数形式表示成三角形式

例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）；   （2）.

【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;

【解析】（1）复数对应的向量如图所示，

则.

因为与对应的点在第一象限，所以.

于是.

（2）复数对应的向量如图所示，

则.

因为与对应的点在第四象限，所以.

于是.

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.

解题技巧： (复数的代数形式化三角形式的步骤)

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

跟踪训练二

1．把下列复数表示成三角形式：

(1)1；(2)－2i；(3)－i; (4)－2(sin＋icos)．

【答案】(1) 1＝cos 0＋isin 0.   (2)－2i＝2(cos ＋isin )．

(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．  (4)－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．

【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0.

 (2) r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos ＋isin )．

(3) r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－.

所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．

(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，

对应的点在第二象限，且cos θ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．

题型三  把复数表示成代数形式

例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

（1）；（2）.

【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,

（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,

【解析】（1）复数的模，一个辐角，

对应的向量如图所示.

所以.

（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.

所以

.

解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）

（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

跟踪训练三

1．把下列复数表示成代数形式：

(1)z1＝3(cos ＋isin )；

(2)z2＝2[cos(－)＋isin (－)]；

(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)．

【答案】(1)z1＝＋i.   (2)z2＝－2i.    (3)z3＝－＋i.

【解析】(1)z1＝3(cos ＋isin)

＝3×＋3×i＝＋i.

(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]

＝2×0＋2×(－1)i

＝－2i.

(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)

＝5×(－)＋5×i＝－＋i.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.

本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.