高效作业31[4.5.2　用二分法求方程的近似解]

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　A　)

A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点

B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值

C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0 的根不一定是函数f(x)的零点

D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

【解析】 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．

2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　B　)

　　　A.　　　　　　　　　　　　B.

　　　C.　　　　　　　　　　　　D.

【解析】 由题意知选项B中函数不存在x1，x2，使得f(x1)·f(x2)<0成立．

3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过(　A　)

A．ε    B．ε

C．2ε　    D．ε

【解析】 最大误差即为区间长度ε.

4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(　B　)

A．(1，1.25)    B．(1.25，1.5)

C．(1.5，2)    D．不能确定

【解析】 根据二分法的定义，可知零点存在的区间是(1.25，1.5)，因此也是方程的解所在的区间．

5． 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是(　BCD　)

A．1.25    B．1.437 5

C．1.406 25    D．1.421 9

【解析】 由表格及|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.05可知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，

则此区间内任意一点都可以作为零点的近似值，故B，C，D都可以．

6．已知函数f(x)在区间[1，3]上连续不断，且f(1)f(2)f(3)<0，则下列说法正确的是(　D　)

A．函数f(x)在区间[1，2]或[2，3]上有一个零点

B．函数f(x)在区间[1，2]，[2，3]上各有一个零点

C．函数f(x)在区间[1，3]上最多有3个零点

D．函数f(x)在区间[1，3]可能有3个零点

【解析】 函数f(x)在区间[1，3]上连续不断，且f(1)·f(2)f(3)<0，

如果函数f(x)是单调函数，且f(1)<0，f(2)<0，f(3)<0，

f(x)就无零点，故A，B不正确；

如果函数f(x)不是单调函数，且f(1)<0，f(2)<0，f(3)<0，则函数f(x)在区间[1，3]上可能有4个零点，如图所示．

故C不正确．故选D.

二、填空题

7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__a2＝4b__．

【解析】 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.

8．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2，3)__(填区间).

【解析】 因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2，3)内．

9．若函数f(x)的图象是连续不断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__③④⑤__．(只填序号)

①(－∞，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)；⑤(4，5)；⑥(5，6)；⑦(6，＋∞).

【解析】 根据零点存在定理，f(x)在[2，3]，[3，4]，[4，5]内都有零点．

10．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__(0，0.5)__，第二次应计算__f(0.25)__．

【解析】 由零点的存在性可知，x0∈(0，0.5)，取该区间的中点＝0.25，所以第二次应计算f(0.25).

11．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是__f(x)＝x2－17__，选定的初始区间是__[4，5]__(答案不唯一，写出一个即可).

【解析】 由于是方程x2－17＝0的一个根，故构造函数f(x)＝x2－17，根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5].

[B级　素养养成与评价]

12．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则(　B　)

A．f(x)在上有零点

B．f(x)在上有零点

C．f(x)在上无零点

D．f(x)在上无零点

【解析】 由f(a)f(b)<0，f(a)·f>0，得f·f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点．

13．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算后列表如下：

则函数零点的近似值可取为__1.312__5__．(答案不唯一，取值在[1.312 5，1.375]上即可)

【解析】 因为精确度 ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，所以函数零点的近似值可取为1.312 5.

14．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，想要尽快地查出故障所在(已查明A，B两处线路没有故障).如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．

(1)维修线路的工人师傅随身带着话机，他应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？

(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m，最多要查多少次？

解：(1)如图所示，他首先应从中点C查起，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推……

(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多经过7次查找，即可将故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m.

15．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)求证：方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，

所以f(0)·f(2)＝－<0，

由函数零点存在定理，得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．

(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，

由此可得f(1)·f(2)＝－<0，则下一个有解区间为(1，2).

再取x2＝＝，得f＝－<0，

所以f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.

再取x3＝×＝，得f＝>0，

所以f·f<0，下一个有解区间为.

故f(x)＝0的实数解x0在区间内．