高中数学1.2.5 空间中的距离第2课时导学案

第2课时点到平面、直线到平面、平面到平面的距离

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一点到平面的距离

1.点到平面的距离

给定空间中一个平面及外一点 ,过可以作平面的一条垂线段,这条垂线段的长称为点到平面的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的① 最短连线的长度.

2.点到平面的距离的计算公式

一般地,若是平面外一点,是平面内一点,是平面的一个法向量,则点到平面的距离 ② .

要点二相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

1.相关概念

当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内③ 任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面④ 同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.

2.计算公式

如图1所示,如果直线与平面平行,是平面的一个法向量,分别是上和内的点,则直线与平面之间的距离为 ⑤ .

如图2所示,如果平面与平面平行,是平面的一个法向量（当然也是平面的一个法向量）,和分别是平面与平面内的点,则平面与平面之间的距离为 ⑥ .

自主思考

1.棱长为2的正方体的顶点到平面的距离是多少?

答案：提示  2.

2.当直线与平面平行时,直线上任意两点到平面的距离相等吗?

答案：提示相等.

3.棱长为1的正方体中,直线到平面的距离是多少?平面到平面的距离是多少?

答案：提示都是1.

4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离有什么共同之处?

答案：提示都是转化为点到平面的距离求解

名师点睛

1.四种距离的关系

2.点到平面的距离的三种求法

（1）定义法：这是常规方法,首先过点向平面作垂线,确定垂足的位置,然后将该线段放到一个直角三角形中,最后通过解三角形求得点到平面的距离.

（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高,利用三棱锥转化底面求体积,从而求得点到平面的距离.

（3）向量法：这是我们常用的方法,利用向量法求解点到平面的距离的优点是不必经过严密的逻辑推理,只需借助空间向量计算即可.

互动探究·关键能力

探究点一点到平面的距离

精讲精练

例（2021北京平谷第五中学高二月考）已知四面体中,两两垂直,与平面所成角的正切值为 ,则点到平面的距离为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示：

设 ,则 ,

.

所以 .

设平面的一个法向量为 ,

则

令 ,得 ,故 .

因为直线与平面所成角的正切值为 ,所以直线与平面所成角的正弦值为 ,

即 ,解得 .

所以平面的一个法向量为 ,故B到平面的距离 .

解题感悟

利用向量求点到平面的距离的一般步骤：

（1）建立空间直角坐标系.

（2）求出该平面的一个法向量.

（3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

（4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.

迁移应用

1.已知平面的一个法向量为 ,点在平面内,则点到平面的距离为(      )

A. B. C.1D.

答案：

解析：由题意知 ,则点到平面的距离 ,故选A.

2.（2021山东省实验中学高二期末）如图所示,在长方体中,分别是的中点.

（1）求证：平面 ;

（2）求到平面的距离.

答案：（1）证明：分别取和的中点 ,连接 ,

则且且 ,

所以 ,且 ,

所以四边形是平行四边形,所以 ,

又平面平面

所以平面 .

（2）以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示：

则 ,

因为分别是的中点,

所以 ,

所以 .

设平面的一个法向量为 ,则

令 ,则 ,

所以 ,

设到平面的距离为 ,则 .

探究点二直线到平面的距离

精讲精练

例在直棱柱中,底面为直角梯形,且是的中点,求直线与平面的距离.

答案：以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,

则 .过点作的垂线交于点 ,易得 ,

.

设平面的一个法向量为 ,

则即 ,不妨取 .

直线与平面的距离 .

解题感悟

（1）求直线到平面的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.

（2）选择直线上任意一点时,一般选取相关线段的端点或已知的其他的点.

迁移应用

1.如图,已知长方体中, ,则直线到平面的距离是(     )

A.5B.

C. D.8

答案：

解析：且平面平面平面

从而点到平面的距离即为所求的距离.

以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则设则则设平面的一个法向量为

由得 ,

,

令则为平面的一个法向量.

又点到平面的距离 .

探究点三平面到平面的距离

精讲精练

例已知正方体的棱长为1,求平面与平面间的距离.

答案：以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,

则 ,

,则 .

设平面的一个法向量为 ,则即

令 ,得 .

点到平面的距离 .

平面与平面间的距离等于点到平面的距离,

平面与平面间的距离为 .

解题感悟

（1）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可;

（2）求空间的各种距离的关键点是合理转化和准确计算.

迁移应用

1.（2020山东济南高二检测）如图,在棱长为2的正方体中,是线段上的动点.

（1）证明：平面 ;

（2）若点是的中点,求二面角的余弦值;

（3）判断点到平面的距离是不是定值.若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

答案：（1）证明：在正方体中,平面平面平面 .

（2）在正方体中,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,

则 , ,设向量分别为平面和平面的一个法向量,由

取则

同理取 ,则 .

,又二面角的平面角为锐角,

二面角的余弦值为 .

（3）由（1）知平面且在上,点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离,取点为的中点,由（2）知,平面的一个法向量为点到平面的距离点到平面的距离为定值 .

评价检测·素养提升

1.已知正方体的棱长为2,则到平面的距离为(     )

A. B.2C. D.

答案：

2.如图,正方体的棱长为1,是底面的中心,则点到平面的距离是(     )

A. B.

C. D.

答案：

3.已知直线平面 ,平面的一个法向量为 ,平面内一点的坐标为(0,0,1),直线上一点的坐标为(1,2,1),则直线到平面的距离为．

答案：

4.两平行平面分别经过坐标原点和点 ,且两平面的一个法向量都为 ,则两平面间的距离是 .

答案：