高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

课程基本信息

课例编号

学科

数学

年级

高二

学期

第一学期

课题

导数在研究函数中的应用小结（1）

教科书

书名：普通高中教科书   数学选择性必修第二册  （A版）                              

出版社：人民教育出版社             出版日期：2020  年   月

教学人员

姓名

单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：

1. 回顾复习利用导数研究函数单调性极值最大值等性质的方法，亲历画出函数大致

图象的过程，感受导数在研究函数性质中的作用；

2. 提炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数单调区间，求函数极值等问

题步骤之间的联系；

3. 形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

重点：利用导数作出函数图象的基本步骤．

难点：综合运用导数、 函数与方程等知识研究函数问题．

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

5分钟

15分钟

２

分钟

新课引入

例题讲解

课

堂

小

结

作

业

引导语：导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．我们可以利用导数更加精确地研究函数的性质．

前面探究了利用导数判断函数单调性、求函数极值及函数在闭区间上最大值与最小值的一般方法，我们一起来回顾一下：

问题1   一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？

在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减．

追问1：一般情况下，判断函数的单调性的步骤是什么？

我们可以通过如下步骤判断函数的单调性：

（1）          确定函数的定义域；

（2）          求出导数的零点；

（3）          用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出

在各区间上的正负，由此得出函数在定义域上的单调性．

    问题2  一般情况下，如何利用导数求函数极值？

    一般地，可按如下方法求函数的极值： 解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

问题3  一般情况下，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤是什么？

一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）          求函数在区间上的极值；

（2）          将函数的各极值与端点处的函数值，比较，

其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题．

例７　给定函数 ．

（1）          判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）          画出函数的大致图象；

（3）          求出方程的解的个数．

问题4   根据刚才回顾的判断函数单调性的步骤，我们首先应该关注什么？

应该关注函数定义域，定义域为实数集．

接下来我们对函数求导，根据两个函数和 的乘积的导数运算法则

可以求得的导数

追问１：导数的零点是什么？

导数的零点是．

追问２：你能够列表表示，的变化情况吗？

，的变化情况如表所示

追问３：函数在定义域上是否有极值？

由上表可知，函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增． 当时， 有极小值． 

这样，我们就求解出了第一问．

解：函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增． 当时， 有极小值．

为了更准确画出函数图象，我们来观察函数图象经过哪些特殊点．一般情况下会考查函数的极值点以及函数图象是否与坐标轴相交，如果相交求出交点坐标．

追问４：的图象经过哪些特殊点？

图象经过点，点及点．

追问５：结合函数与方程、不等式知识，你还能发现图象有哪些变化趋势？

令解得，由此当时，，当时，．

　　我们还观察到：当时，与一次函数相比，指数函数

呈爆炸性增长，从而；当时，， ．

追问６：　根据以上信息，是否可以画出的大致图象？

我们可以画出的大致图象如图所示．

我们再来看第三问．

　　　追问７：如何从图象直观看出方程 的解的个数？

　　　方程 的解的个数为函数的图象与直线的交点个数．

　　　通过观察函数图象我们发现当时， 有最小值，所以，关于方程的解的个数有如下结论： 　　　　　

　　　　当 时，解为０个； 当 或时，解为１个； 当时，解为２个．

问题５　　函数的图象直观地反映了函数的性质．通

过例题７的求解过程，你能够总结出画出函数的大致图象的步骤吗？

　　通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象：

（1）          求出函数的定义域；

（2）          求导数 及函数的零点；

（3）          用 的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出

在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；

（4）          确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）          画出的大致图象．

我们按照总结的步骤再来研究一个函数．

　　例８　按照总结的步骤尝试画出函数的大致图象．

　　问题６　　按照总结的步骤我们首先要考查什么？

按照总结的步骤我们首先要考查函数的定义域，的定义域为．

追问１：导数 及函数的零点是什么？

函数的零点是．

追问２：　的零点将的定义域划分为若干个区间，列

表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值．

　　追问３：的图象所经过的哪些特殊点，以及图象的变化趋势是什么呢？

图象经过点，点．

令解得，由此当时，，当时，．

　　我们还观察到：当时， ；当时，， ．

追问４：　基于上述分析，画出函数的大致图象．

　　今天我们在回顾复习利用导数研究函数单调性极值最大值等性质的方法，亲历画出函数大致图象的过程，感受导数在研究函数性质中的作用，

提炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数单调区间，求函数极值等问题步骤之间的联系．

　　问题７　画出函数的大致图象的步骤是什么？

　　通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象：

（1）          求出函数的定义域；

（2）          求导数 及函数的零点；

（3）          用 的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出

在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；

（4）          确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）          画出的大致图象．

导数是继我们在必修一学习的初等方法后研究函数问题的又一个

有力工具，同学们要结合函数与方程、不等式等来研究函数性质，形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

　课后作业

1. 按照课上总结的画出函数图象的步骤，判断函数单调性，极值，并画出函数的图象．
2. 按照课上总结的画出函数图象的步骤，判断函数 单调性，极值，并画出函数的图象．
3. 按照课上总结的画出函数图象的步骤，判断函数单调性，极值，并画出函数的图象．