考点10一元一次不等式（组）及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点10一元一次不等式（组）及应用

【命题趋势】

一元一次不等式（组）及应用是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。1、一元一次不等式（组）的解法及解集表示，考查形式有：①求不等式（组）的解集；②求不等式（组）的解集并在数轴上表示；③求不等式组的整数解。主要考查基础题。2、一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断那种方案合算；②与一次函数结合确定方案问题，命题背景有购买问题、销售费用问题等。主要考查中档题。3、由不等式（组）的解集求字母取值范围，选择填空题，主要考查中档题。

【常考知识】

求不等式（组）的解集；求不等式（组）的解集并在数轴上表示；求不等式组的整数解；由不等式（组）的解集求字母取值范围；一元一次不等式的应用，通常与一次函数结合确定方案问题，命题背景有购买问题、销售费用问题等。

【夺分技巧】

①去分母时，不要漏乘不含分母的项。

②去分母时，如果分子是多项式，要将分子加上括号。

③在化系数为1是，如果两边同时除以一个负数时，不等号要改变方向。

④不等式得应用还需真题要验根，题目中用字母表示的量要符合实际意义。

真题演练

一、单选题

1．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（　　）

A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜9

【答案】D

【分析】

首先根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．

【详解】

3x+m≥0，

，

不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，

两个负整数根为-1和-2，

，

6≤m<9，

故选：D．

2．（2021·山东临沂·一模）不等式组的解集为（   ）

A． B． C． D．无解

【答案】B

【分析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【详解】

解：，

由①得：x≤2，

由②得：x＞1，

则不等式组的解集为1＜x≤2，

故选：B．

3．（2021·重庆九龙坡·模拟预测）如果关于x的不等式组有且只有三个奇数解，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的整数m有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

解不等式组和分式方程得出关于的范围及的值，根据不等式组有且只有三个奇数解和分式方程的解为整数得出的范围，继而可得整数的值．

【详解】

解：解不等式组，得：，

不等式组有且只有三个奇数解，

，

解得：，

是整数，

或13，

解关于的分式方程：，

得：，

分式方程有整数解，

是6的约数，且，，

，12，15，11，10，19，7，

综上，，有1个；

故选：A．

4．（2021·广东·东莞外国语学校一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】

抛物线的顶点为，,与轴的一个交点在点和之间，列不等式，解得，根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．

【详解】

解：抛物线的顶点为，,

与轴的一个交点在点和之间，

，

解得，

①，抛物线开口下，函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，

故①错误；

②函数的对称轴是x＝﹣1，开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，

故②正确；

③当y=0时有一根和之间，抛物线对称轴为x=-1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当x＝1时，函数值小于0，则a+b+c＜0，

故③正确；

④根据图象可知：抛物线的顶点为D（-1，2），

∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，

∴抛物线-m顶点在x轴下方

，

故④正确，

⑤∵对称轴x＝﹣1＝﹣，

∴b＝2a，

∵a+b+c＜0，

∴3a+c＜0，

故⑤正确，

所以正确的选项有②③④⑤，

故选：C．

5．（2021·重庆实验外国语学校三模）若数使关于的一元一次不等式组，至少有个整数解，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先由不等式组，解得，根据至少有个整数解，可得，再由分式方程有非负整数解，从而得出a的取值，再求和，即可得解．

【详解】

解：解不等式组，

解得，，

∵至少有个整数解，

∴，

得，

由，

去分母得，y+a-2y=y-3，

即-2y=-a-3，

解得，y=，

由y为非负整数，且y≠3，a为整数且a＜8，

得：a=-3，-1，1，5，7，

∴符合条件的a的和为9．

故选：A．

6．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝﹣x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（　　）

A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞1 D．n＜7

【答案】C

【分析】

直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4-n，求出直线y＝﹣x+4-n与直线y＝﹣x+3的交点，再由此点在第二象限可得出n的取值范围．

【详解】

解：直线y＝﹣x+4向下移n个单位后可得：y＝﹣x+4-n，

联立两直线解析式得：

，

解得：

，

即交点坐标为(2-2n，n+2)，

∵交点在第二象限，

∴，

解得：n>1．

故选：C．

7．（2021·重庆巴蜀中学三模）若整数a是使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得且关于y的分式方程＋＝a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【分析】

解不等式组，确定a的取值范围，在解方程确定a的取值范围，它们解集的公共部分就是满足条件的整数a，再求出个数即可.

【详解】

解： 

由①得，2（x-1）＞3x-6

解得：x＜4，

由②得，x≥，

∵有且只有2个整数解，

∴1＜≤2，

解得，1＜a≤7,

＋＝a

2y+3-a-1=a(y-1)

(2-a)y=-2

y=,

a≠2

∵有非负数解，

∴2-a＜0，

∴a＞2，

∴1＜a≤7 ，

∴2＜a≤7

∵a=4时，y=1是增根，

∴a可为3、5、6、7，

故答案为：C.

8．（2021·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（    ）

A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1

【答案】C

【分析】

求出原不等式组的解集为，再利用已知解集为，可知，即可求出k的取值范围．

【详解】

由，

解得：，

又∵不等式组的解集为，

∴，

∴．

故选C

9．（2021·广东·明德学校八年级期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．

【详解】

解：依题意，得：

，

由①得：

，

由②得：＞，

＞

＞，

所以不等式组的解集为：．

故选：．

10．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．

【详解】

解：解不等式＞，得：，

解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，

∵不等式组的解集为，

∴，

故选：A．

二、填空题

11．（2021·辽宁沈阳·中考真题）不等式组的解集是__________．

【答案】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

故答案为：．

12．（2021·福建省福州外国语学校三模）不等式组的解集是__________．

【答案】

【分析】

先解出每一个不等式的解集，再按“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”确定不等式组的解集．

【详解】

解：解不等式得；

解不等式得，

则不等式组的解集为：．

故答案为：．

13．（2021·江苏·泰州中学附属初中二模）若y是x的一次函数形式为，且y随x的增大而减小，图像与x轴的正半轴相交，则符合条件的整数 m的值为____________ ．

【答案】

【详解】

略

14．（2021·湖北黄冈·二模）关于的某个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为______．

【答案】x1

【分析】

结合题意，根据不等式组解集和数轴的性质分析，即可得到答案．

【详解】

该不等式组的解集为：且x1

∴该不等式组的解集为： x1

故答案为：x1．

15．（2021·重庆八中三模）2019年4月底，37国元首携代表团在我国出席“一带一路”国际合作高峰论坛，为表友好，我国政府选择将刺绣与陶瓷两类工艺品作为国礼赠送给所有来宾．甲乙两个工厂分别承接了制作，两种刺绣种陶瓷的任务．甲工厂安排100名工人制作刺绣，每人只能制作其中一种刺绣，乙工厂安排50名工人制作种陶瓷，的人均制作数量比的人均制作数量少3件，的人均制作量比的人均制作量少20%，若本次赠送的国礼（，，三样礼品）的人均制作数量比的人均制作数量少30%，且的人均制作数量为偶数件，则本次赠送的国礼共制作了_____件．

【答案】945

【分析】

设甲工厂安排x名工人生产A种刺绣，A种刺绣的人均制作数量为y件，根据本次赠送的国礼（A，B，C三样礼品）的人均制作数量比B的人均制作数量少30%，列出方程即可求解．

【详解】

解：设甲工厂安排x名工人生产种刺绣，

则名工人生产B种刺绣，

种刺绣的人均制作数量为件，

则种刺绣的人均制作数量为件，

种陶瓷的人均制作数量为件，

根据题意，得

整理得：，

，且为整数，

，

，且为偶数，

当时，，

故本次赠送的国礼共制作的件数为：

件．

故答案为：945．

16．（2021·湖北十堰·模拟预测）规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，则x的取值范围为_____．

【答案】．

【分析】

由，可得，解不等式，由，可得，解不等式，取两双边不等式的公共部分即可 ．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴x的取值范围为．

故答案为：．

17．（2021·全国·九年级专题练习）已知一次函数y＝（2m＋1）x＋m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为______．

【答案】

【分析】

根据一次函数图象经过的象限可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

解：∵一次函数的图象不经过第二象限，

∴该图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，

，解得：﹣＜m≤3．

故答案为：﹣＜m≤3．

三、解答题

18．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】3＜x≤4，数轴见解析

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．

【详解】

解：，

解不等式①得：x＞3，

解不等式②得：x≤4，

则不等式组的解集为3＜x≤4，

在数轴表示如下：

19．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）2019年12月武汉发现病毒性肺炎病例，2020年1月12日被世界卫生组织命名为“”．在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“”的战斗．为了控制疫情的蔓延，我省准备捐赠320件一种急需防疫物资送往武汉，用多辆甲、乙两种型号的货车运输，如果用甲型车若干辆，装满每辆车后还余下20件物资未装；如果用同样辆数的乙型车装，还剩一辆可以装30件（此时其余各车已装满）已知装满时，每辆甲型车比乙型车少装10件．

（1）求甲、乙两型车每辆装满时，各能装多少件防疫物资？

（2）如果将这批物资从我省运到武汉的运输成本（含油费、过路费、损耗等）甲、乙两型车分别为320元/辆，350元/辆．计划派甲、乙两型车共5辆参与运输物资，且甲型车辆数不少于乙型车的一半，设运输的总成本为元．请你提出一个派车方案：既要保证320件防疫物资装完，又要使运输总成本最低，并求出这个最低运输成本值．

【答案】（1）甲装满时每车能装60件；乙装满时每车能装70件；（2）派甲型车3辆、乙型车2辆，可使320箱药品装完且运输成本W最低，其值为1660元．

【分析】

（1）本题的等量关系是：320−20÷一辆甲型车装满时装的件数＝320＋30÷一辆乙型车装满时装的件数；一辆甲型车装满时装的件数＋10＝一辆乙型车装满时装的件数．由此可列出方程组求解．

（2）由运输的总成本＝甲型车的费用＋乙型车的费用，得到函数解析式，然后根据甲型车辆数不少于乙型车的一半，求出自变量的取值范围，然后根据自变量的取值范围得出最省钱的方案．

【详解】

解：（1）设甲每车运x件，乙每车运y件，

由题意可得：，解得，

经检验：是方程组的解，且符合题意，

答：甲装满时每车能装60件；乙装满时每车能装70件；

（2）设甲型车m辆，则乙型车（5-m）辆，

依题有W＝320m＋350（5-m）=-30m+1750，

且 ，

解得： ≤m≤3，

又∵m取整数，W随m的增大而减小，

∴仅当m＝3，5-m＝2时，药品刚好装完且运输总成本W最低，

其值为W＝320×3＋350×2＝1660（元），

∴派甲型车3辆、乙型车2辆，可使320件药品装完且运输成本W最低，其值为1660元．

20．（2021·黑龙江龙沙·三模）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式及的值；

（2）轴上的点使+的值最小，则______；

（3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了______个单位；

（4）点在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）该抛物线的解析式为；m=-4；（2）2；（3）9；（4）、、、．

【分析】

（1）求出不等式组的解集，确定A、B两点的坐标，用待定系数法即可求二次函数的解析式；将点D的横、纵坐标代入解析式，可求m的值；

（2）连接AD交y轴于点E，求出直线AD的解析式就可以点E的坐标，进而求出；

（3）因为AD∥FB，可用相似三角形的性质求出OF的长度，进而求出点C移动的单位长度；

（4）利用菱形的性质，分类讨论，针对不同的情况，分别求出点的坐标．

【详解】

（1）所给不等式组的解集为， 其整数解为2,3．

∵OA，OB的长是所给不等式组的整数解，且OA<OB，

∴，则A（-2，0），B（3，0）

∵点A、B在抛物线上，

∴，解得， ．

∴所求的抛物线的解析式为

∵点D（2，m）在抛物线上，

∴

（2）如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE+ED最小．

设直线AD的解析式为

∵点A（-2,0），D（2,-4）在直线 AD上，

∴，解得， ．

∴直线AD的函数解析式为

当x=0时，y=-2,．即E（0， -2）．

∴

故答案为：2

（3）如图1，

∵AD//FB，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴抛物线向上平移9个单位．

故答案为：9

（4）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，

由∵

∴AB与MN不能作为一组对角线．

∴分两种情况：

①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②．

如图2①，AB=OA+OB=2+3=5，

∵四边形ABMN是菱形，

∴MN∥AB∥x轴，MN=MB=AB=5．

在中，

∴M（0,4）．

∴N（-5,4）．

如图2②，同理可得：N（-5，-4）．

②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④．

如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，

∵

∴

∴

如图2④，同理可得：

综合上述①、②两种情况，符合条件的点N的坐标为：

21．（2021·黑龙江佳木斯·三模）佳佳超市要用不超过3520元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计500千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价25%进行销售．

（1）求超市有多少种进货方案；

（2）求获利最多的方案及最多获利多少元；

（3）因气温升高、品质下降和竞争需要，这两种蔬菜中有200千克最终只能以原定价的五折销售，在获利最多的方案下，超市若要取得盈利，打折销售的油豆角最多有多少千克？

【答案】（1）6种；（2）购进番茄120千克，油豆角380千克获利最多，最多获利880元；（3）151千克

【分析】

（1）设购进苹果x斤，则购进芒果（500-x）斤，根据总价=单价×购进数量结合购进油豆角的重量不少于番茄重量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再根据x为整数，即可得出进货方案数；
（2）设获利w元，根据总利润=每千克利润×进货数量，即可得出w关于x的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3））设打折销售的番茄有千克，根据两种蔬菜中有200千克最终只能以原定价的五折销售，在获利最多的方案下，超市若要取得盈利，列出不等式，解之即可找出结论．

【详解】

解：（1）设购进番茄千克，则购进油豆角千克．

依据题意，得

解得．

∵为整数，

∴，121，122，123，124，125．

∴进货方案有6种．

（2）设获利元，则有

．

∵，

∴时，最大，．

（千克）．

答：购进番茄120千克，油豆角380千克获利最多，最多获利880元．

（3）设打折销售的番茄有千克，则油豆角有千克．

．

解得．

∴．

∴打折销售的油豆角最多有151千克．