考点08二元一次方程（组）及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点08二元一次方程（组）及应用

【命题趋势】

一元一次方程及应用是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。中考主要以选择题、填空题、解答题形式考一元一次方程的解法及解决简单的实际问题，有时还将其与不等式相结合考查。通常考基础题。

【常考知识】

一元一次方程的解法及解决简单的实际问题。

【夺分技巧】

1、二元一次方正组的解法：

基本思路：消元，即二元一次方程组⟹消元，变成一元一次方程

2、方法：（1）代入法（2）加减法

①若方程组中有一个未知数的系数为1或-1，常用带入法；

②若方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，常用加减法

真题演练

一、单选题

1．（2021·全国·七年级专题练习）已知是二元一次方程组的解，则的值为（      ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】

将代入原方程组得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入所求式子计算即可．

【详解】

解：将代入方程组，

得，

解得，

所以5a-3b=10-9=1．

故选：B．

2．（2021·河北任丘·七年级期末）关于x，y的方程组的解为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先把两方程相减可求出，然后利用代入法求，从而得到方程组的解．

【详解】

解：

①－②得，

把代入②得，解得，

所以方程组的解为，

故选：A．

3．（2021·天津南开·一模）方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用②①得： 求解把代入②得： 解方程求解，即可得到答案．

【详解】

解：

②①得：

把代入②得：

方程组的解是

故选：

4．（2021·湖北十堰·七年级期中）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元.问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有个人，这个物品价格是元.则可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据等量关系：每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元即可列出方程组.

【详解】

根据题意有

故选：A.

5．（2021·天津滨海新·二模）二元一次方程组的解为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：，两式相加得：3x=9，解得：x=3．把x=3代入①得：y=2．故选C．

6．（2021·黑龙江铁锋·一模）张老师到文具店购买A、B两种文具，A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱，则可供他选择的购买方案的个数为（两样都买）（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【详解】

试题分析：设买A种文具为x件，B种文具为y件，根据“A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱”列出方程并解答．注意x、y的取值范围．

解：设买A种文具为x件，B种文具为y件，

依题意得：2.5x+y=30，

则y=30﹣2.5x．

∵x、y为正整数，

∴当x=2时，y=25；

当x=4时，y=20；

当x=6时，y=15；

当x=8时，y=10；

当x=10时，y=5；

当x=12时，y=0（舍去）；

综上所述，共有5种购买方案．

故选B．

7．（2021·四川广汉·二模）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（   ）．

A．男村民3人，女村民12人 B．男村民5人，女村民10人

C．男村民6人，女村民9人 D．男村民7人，女村民8人

【答案】B

【详解】

分析：可设男女村民各x、y人，由题意一个相等关系是x+y=15，再一个相等关系是2x+y=15，据此列方程组求解．

解答：解：设男女村民各x、y人，由题意得：，

解得：．

故选B．

8．（2021·全国·七年级专题练习）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.

【详解】

解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆，

根据题意得 ：

故选：A．

9．（2021·广东·广州市第四十一中学七年级阶段练习）已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　）

A．1 B．0 C．-2 D．-1

【答案】D

【详解】

分析：根据二元一次方程组的特点，用第二个方程减去第一个方程即可求解.

详解：

②-①得m+n=-1.

故选D.

10．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）已知方程组的解满足x＋y＝3，则k的值为(　　)．

A．10 B．8 C．2 D．－8

【答案】B

【详解】

试题解析：由题意可得，

2×①-②得y=k-，

②-③得x=-2，

代入③得y=5，

则k-=5，

解得k=8．

故选B.

二、填空题

11．（2021·重庆·字水中学一模）“绿水青山，就是金山银山”，为改善区域生态状况，促进经济社会可持续发展，实现人与自然和谐共生，某地启动了国家湿地公园建设试点项目，通过补植补造、自然封育、人工管护等一系列措施，改善生态环境，打造休闲旅游好去处．该湿地项目根据湿地地形，决定补植补造草皮、灌木、乔木（不混种）以增强观赏性．经过一段时间，补植补造草皮、灌木、乔木的面积之比为2：3：4，根据规划方案，将把余下湿地留足10%作为观赏步道后剩下湿地继续补植补造草皮、灌木、乔木，经测算若将剩下湿地的补造草皮，则草皮的面积将达到前后补植补造的这三种植被总面积的．为了使前后补植灌木总面积与补植乔木总面积达到9：13，则该湿地项目前后补植的灌木总面积与该湿地项目全部（含观赏步道）总面积之比是_______．

【答案】

【分析】

设湿地总面积为，第一次补植补造草皮、灌木、乔木的面积分别为、、，设前后补植灌木总面积为，则前后补植乔木总面积为，可得，即①，而前后补植补造草皮、灌木、乔木总面积为，故，化简得②，由①②即可得答案．

【详解】

解：设湿地总面积为，第一次补植补造草皮、灌木、乔木的面积分别为、、，

则余下湿地面积是，观赏步道的面积为，

前后补植灌木总面积与补植乔木总面积达到，

设前后补植灌木总面积为，则前后补植乔木总面积为，

剩下湿地继续补植补造草皮、灌木、乔木，经测算若将剩下湿地的补造草皮，则草皮的面积将达到前后补植补造的这三种植被总面积的，

，化简得，即①，

而前后补植补造草皮、灌木、乔木总面积为，

，化简得②，

将①代入②得，

解得：，

湿地项目前后补植的灌木总面积与该湿地项目全部（含观赏步道）总面积之比是，

故答案为：．

12．（2021·湖南双峰·七年级期末）已知二元一次方程组，则______．

【答案】-1．

【分析】

将两方程相减可求的值．

【详解】

解：

①-②可得：，

故答案为：-1．

13．（2021·浙江杭州·三模）已知，则_________．

【答案】5．

【分析】

将式子联立解方程组，求出的值，把的值代入即可求出值．

【详解】

解：∵，

∴，

解得，

．

故答案为：5．

14．（2021·山东兰山·二模）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如时，．若，则_______．

【答案】11

【分析】

已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入F（x，y），再把x=3，y=2代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵F（1，3）=6，F（2，5）=1，

∴根据题中的新定义化简得：

，

解得：，

即F（x，y）=3xy，

则F（3，2）=9+2=11．

故答案为：11．

15．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）七年级期末）写出二元一次方程的一组解：_________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】

将y看做已知数求出x，即可确定出方程的一组解．

【详解】

方程，解得：，

当y=1时，

∴方程一组解为．

故答案为（答案不唯一） ．

16．（2021·甘肃武都·二模）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下________元．

【答案】31

【分析】

设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10-8x中即可求出结论．

【详解】

解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，

依题意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，

∴y=x+7，

∴5x+3y+10-8x=5x+3（x+7）+10-8x=31．

故答案为：31．

17．（2021·山东南区·二模）在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩元，一包酒精消毒湿巾元，根据题意可列二元一次方程组：___________．

【答案】

【分析】

根据150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾共75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾共96元，即可得出关于x、y的方程组．

【详解】

解：依题意得： ，

故答案为：．

三、解答题

18．（2021·江苏·常州实验初中二模）解方程组或不等式组：

（1）解方程组：            （2）解不等式组：

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；

（2）分别解不等式①②，进而求得不等式组的解集．

【详解】

（1）

①②得：，

解得，

将代入解得，

原方程组的解为：；

（2）

解不等式①得：，

解不等式②得：，

不等式组的解集为：．

19．（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．

【答案】购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

【分析】

根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可

【详解】

解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本

根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个

钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元

则有

解得：

则购置笔记本金额为：35×5=175元

购置钢笔金额为：15×15=225元

答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

20．（2021·江苏连云港·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

【答案】（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元

【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．

【详解】

解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．

由题意得：，解之得，，

答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．

（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．

则，

∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．

又，∴．

由于是整数，最大值为67，

即当时，最省钱，最少费用为元．

此时，．

最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．

21．（2021·四川资阳·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．

【分析】

（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；

（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．

【详解】

（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，

∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，

∴，

解得：，

答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．

（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，

∵需甲、乙两种奖品共60件，

∴购买乙种奖品为（60-m）件，

∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，

∴w=20m+10（60-m）=10m+600，

∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，

∴m≥（60-m），

∴20≤m≤60，

∵10>0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），

∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．