考点17二次函数的实际应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

这是一份考点17二次函数的实际应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版），共27页。

考点17二次函数的实际应用

【命题趋势】
二次函数的实际应用主要考查：二次函数的实际应用以最值为主，命中档题。
【常考知识】
二次函数的实际应用，以最值为主。
【夺分技巧】
①根据题意列函数解析式；
②结合函数解析式分段求值；
③根据条件列不等式求解。
真题演练
一、单选题
1．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π
【答案】C
【分析】
由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，
∴当r＝时，S侧有最大值．
故选：C．
3．（2021·江苏吴江·二模）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设矩形的长为am，宽为bm，根据矩形的性质可得a+b=10，根据勾股定理可得a、b、x的关系，从而得出y与x的函数关系式，然后问题可求解．
【详解】
解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，
∵菜园的对角线长为，
∴，
∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x=时，y=25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；
故选B．
4．（2021·陕西韩城·一模）已知二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线，设顶点C的坐标为，根据已知条件列方程即可得到结论．
【详解】
解：二次函数的图象与轴交于A、B两点，
，，
抛物线的对称轴为直线，
设顶点C的坐标为，
四边形为正方形，
，
或，
把C点的坐标代入得：或，
解得：，
故选：C．
5．（2021·广东·九年级专题练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
6．（2021·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】
解：先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为；再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为，
故选A．
7．（2021·河南新蔡·一模）小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【分析】
根据题意可知实心球落地时，即求的解即可．
【详解】
当时，，即．
解得：（舍），．
则小明此次成绩时10米．
故选：B．
8．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图，四边形是菱形，，点P从点出发，沿运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x,的面积为，则下列图象能正确反映与x之间的函数关系的是( )．

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据点P的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ和PQ，即可求出y与x的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60°
∴当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6
①当点P在AD上，即0＜x≤2时，如下图所示

此时PD=x
∴PQ=PD·sin∠D=，DQ= PD·cos∠D=
∴y=DQ·PQ=（0＜x≤2），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
②当点P在AB上，即2＜x≤4时，如下图所示，过点A作AE⊥DC于E

此时PA=x－AD=x－2
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=，DE= AD·cos∠D=1
易证四边形AEQP为矩形
∴AP=EQ=x－2，PQ=AE=
∴DQ=DE＋EQ=1＋ x－2=x－1
∴y=DQ·PQ=×（x－1）=（2＜x≤4），此时图象为逐渐上升的一条线段；
③当点P在BC上，即4＜x≤6时，如下图所示，

此时CP= AD＋AB＋BC－x=6－x
∵AD∥BC
∴∠BCQ=∠ADC=60°
∴PQ=CP·sin∠BCQ =，CQ=CP·cos∠BCQ =
∴DQ=DC＋CQ=2＋
∴y=DQ·PQ=（4＜x≤6），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为D
故选D．
9．（2021·山东沂南·一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　）

A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
【答案】C
【详解】
分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】
C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.

二、填空题
11．（2021·内蒙古·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【分析】
根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】
解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．

12．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．

【答案】
【分析】
过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答案．
【详解】
解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，
∴，
∵，
∴，
设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，
∴C(0，3a2)，
∵P为的中点，
∴P(，)，
∴，即：，
故答案是：．

13．（2021·湖北南漳·一模）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
【答案】30．
【分析】
设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】
设商品所获利润为w元
由题意得：


由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小
则当时，w取得最大值，最大值为100元
故每件商品的售价应为30元
故答案为：30．
14．（2021·浙江越城·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为_____．

【答案】
【分析】
利用勾股定理求得AC=3，设DC=x，则AD=3-x，利用平行线分线段成比例定理求得CE=进而求得BE=4-，然后根据S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴=x2-8x+12，根据二次函数的性质即可求得CD，进而求得BE和BF，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，
∴AC==3，
设DC=x，则AD=3﹣x．
∵DF∥AB，
∴=，即=，
∴CE=，
∴BE=4﹣．
∵矩形CDGE和矩形HEBF，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD=3﹣x，
则S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF=DC•CE+BE•BF
=x•x+（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣8x+12，
∵＞0，
∴当x=﹣=时，有最小值，
∴DC=，有最小值，
∴BE=4﹣×=2，BF=3﹣=，
∴EF==，
即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为，
故答案为：．
15．（2021·山东栖霞·九年级期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．

【答案】4．
【分析】
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
【详解】
解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
16．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级期中）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
【答案】10
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
17．（2021·广西福绵·九年级期中）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来．
【答案】600．
【详解】
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值．
∴，即飞机着陆后滑行600米才能停止．

三、解答题
18．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，



，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，



，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
19．（2021·四川内江·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
【详解】
解：（1）抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
解得，，或，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．

，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，

设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
20．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，在平面直角坐标系中有矩形，，，连接，点从顶点出发以1.5个单位/秒的速度在线段上向点运动，同时点从顶点出发以1个单位/秒的速度在线段上向点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点作，交于点，连接，设运动时间为秒．
（1）当时，______．
（2）设的面积为，写出关于的函数表达式，并写出的面积最大时点的坐标；
（3）直接写出运动过程中，为等腰三角形时的值．

【答案】（1）；（2），；（3），，
【分析】
（1）延长交于点，由四边形AOBC为矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由，可证四边形为矩形，当时，QB=2，由EF∥OA，可证，可求．由，可求即可；
（2）由，与，可得与，可求，利用三角形面积公式，利用二次函数性质可得当时，S△PCE最大，S△PCE最大=4即可；
（3）先分别求出，CE=， PE=，根据为等腰三角形时可分为三种情况当，，时，分别列方程求解即可．
【详解】
解：（1）延长交于点，
∵四边形AOBC为矩形，
∴AC∥OB，AC=OB=8，
∵，
∴，
∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，
∴四边形为矩形，
当时，QB=2×1=2
∴．
∵EF∥OA，
∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为；

（2）∵，
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，S△PCE最大，S△PCE最大=4．
∴，QE=QF-EF=6-2=4，
∴OQ=OB-QB=
∴；
（3）由（2）得，，，PF=8-AP-CF=8-1.5t-t=8-2.5t
在Rt△ECF中，由勾股定理CE=，
在Rt△PFE中由勾股定理PE=，
①如图，当时，EF⊥PC，
∴PF=CF，即
解得；

②当时，即
解得；

③当时，
整理得，
，t=0（舍）．

∴为等腰三角形时的值为或或．
21．（2021·湖北天门·中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成．

（1）填空：①当时，______；
②______；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）①10；②；（2）；（3）．
【分析】
（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得；
②先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．
【详解】
解：（1）①，
是等腰直角三角形，
，
由图可知，当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故答案为：10；
②由题意得：当时，，
则，
故答案为：；
（2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所示：


，
，
，
在中，，
，
则当点与点重合时，，
①当时，，，
则；
②当时，
如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接，


，，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
则，
，
，
综上，；
（3）①当时，，
令，解得或（舍去），
在内，随的增大而增大，
当时，；
②当时，，
此二次函数的对称轴为，
则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
则当时，取得最小值，最小值为36，
即在内，都有，
综上，当时，的取值范围为．