考点09一元二次方程及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点09一元二次方程及应用

【命题趋势】

一元二次方程及应用是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。中考主要以选择题、填空题、解答题形式考一元二次方程的解法及解决简单的实际问题，用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况或根据方程根的情况求字幕系数的取值范围，根与系数关系的简单应用。通常考基础题或中档题。

【常考知识】

一元二次方程的解法及解决简单的实际问题，用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况或根据方程根的情况求字幕系数的取值范围，根与系数关系的简单应用。

【夺分技巧】

①涉及一元二次方程时，应注意隐含条件a≠0。

②解一元二次方程时应注意遵循直接开平方法、因式分解法、公式法的思维顺序，二次项系数为1，一次项系数为偶数时可考虑配方法。

③运用根与系数关系时，注意几种常见的变形。

④一元二次方程的应用应注意检验一元二次方程的解是否符合实际。

真题演练

一、单选题

1．（2021·四川·达州市第一中学校九年级期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是步，则列出的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据正方形的边长是x步，则圆的直径为（x+6）步，利用圆的面积减去正方形的面积等于耕地面积，列出方程即可．

【详解】

∵正方形的边长是x步，

∴圆的直径为（x+6）步，

∴,

故选B．

2．（2021·青海西宁·中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．

【详解】

解：由题意可得：

2019年用水总量为亿立方米，

2020年用水总量为亿立方米，

所以．

故选：A．

3．（2021·湖北襄州·二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k3≠0且△=224（k3）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．

【详解】

解：根据题意，

关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

则k-3≠0且△=22-4（k-3）＞0，

解得：k＜4且k≠3；

故选：D．

4．（2021·河南洛阳·二模）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（    ）的解．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据正方形的面积得出方程，再整理即可．

【详解】

解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，
∴（x+5）2=64，
整理得：x2+10x=39，
故选：C．

5．（2021·河南洛阳·二模）对于一元二次方程来说，当时，方程有两个相等的实数根，若将的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根

【答案】C

【分析】

根据根的判别式即可求出答案．

【详解】

解：由题意可知：△＝25﹣4c，

当c时，

∴25﹣4c＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

6．（2021·河南周口·二模）为实数，，那么的值为（    ）

A．1 B．或1 C． D．4或

【答案】A

【分析】

将原方程中的换元即转化为分式方程,化简得一元二次方程，解方程即可，注意验根．

【详解】

解：设，则方程可变形为：

解得，

经检验：都是的根，

即或者

当时，即所以

所以：．

故选A．

7．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校模拟预测）对任意实数x，点一定不在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】

由，解得,分情况讨论的符号．根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可．

【详解】

解：,

解得,

（1）当-2＜x＜0时，x+2＞0，x＜0，x 2+2x=x（x+2）＜0，故点P在第三象限；
（2）当x＞0时， x 2+2x=x（x+2）＞0，故点P在第一象限；
（3）当x＜-2时，x+2＜0,x 2+2x=x（x+2）＞0，点P在第二象限．

（4）当时点P（x, ）为P（0，0）或（-2，0）在x轴上，
故对任意实数x，点P可能在第一、二、三象限或x轴上，一定不在第四象限，

故选D．

8．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A． B．

C．且 D．

【答案】C

【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．

【详解】

解：由题可得：,

解得：且；

故选：C．

9．（2021·河南·二模）如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（    ）

A．16 B．8 C．2 D．4

【答案】D

【分析】

根据正方形与等腰直角三角形的性质得到AH=AD=AB=BC，根据图象分析最大面积为，再根据路程与时间的关系得到，最后得到结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，△FGH为等腰直角三角形，

∴AH=AD=AB=BC，

∵△FGH向右移动时，重合部分的面积越来越大，直至△FGH完全在正方形ABCD内部，此时，接着往下运动的话，不完全在正方形ABCD内，则面积减小，

∴图2中是重合部分的面积最大值，

∴，

∵以的速度向右移动，由图2可知从开运动到结束用了（a+4）s，

∴2AB=(a+4)×1,

∴AB=,

∵,

解得：a=4或者a=-4，

∴a=4，

故选：D．

10．（2021·河南·二模）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用平均变化率公式进行计算即可．

【详解】

设平均每次降价的百分率为

第一次降价后的价格为：

第二次降价后的价格为：

∴可列方程

故答案选：A．

二、填空题

11．（2021·湖北天门·中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．

【答案】3

【分析】

先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．

【详解】

解：由题意得：，

，

，

化成整式方程为，

解得或，

经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，

故答案为：3．

12．（2021·湖南娄底·中考真题）已知，则________．

【答案】3．

【分析】

先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．

【详解】

解：，

又∵，

∴，

则，

故答案为：3．

13．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．

【答案】

【分析】

根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．

【详解】

解：∵实数、满足，

∴a﹣2=0，b+3=0，

解得：a=2，b=﹣3，

∴，

∵一元二次方程的两个实数根分别为、，

∴+=2，=﹣3，

∴=，

故答案为：．

14．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学三模）如图，在矩形，，，为线段上的一动点，且和，不重合，连接，过点作交于，将沿翻折到平面内，使点恰好落在边上的点，则长为________．

【答案】或1．

【分析】

作于，如图，设，则，利用等角的余角相等得到，则根据相似三角形的判定得到，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明，利用相似比得到，在中，根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：作于，如图，设，则．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．即．

∴．

∵沿翻折到位置，使点落到上，

∴，，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴，

∴，即．

∴，

在中，∵，

∴，解得，，

∴的长为或1．

故答案为：或1．

15．（2021·四川遂宁·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．

【答案】20

【分析】

根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．

【详解】

解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，

第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，

第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，

第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，

……

∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，

当共有210个小球时，

，

解得：或(不合题意，舍去)，

∴第个图形共有210个小球．

故答案为：．

16．（2021·江苏·泰州中学附属初中二模）已知x1、x2是一元二次方程的两根，则=___________．

【答案】

【详解】

略

17．（2021·山东淄川·一模）若，是关于的方程的两根，满足，则__________．

【答案】4

【分析】

根据根与系数的关系得到x1+x2=-m，x1x2=-3，代入求值．

【详解】

解：根据题意得：x1+x2=-m，x1x2=-3，

∵x1+x2-3x1x2=5，

∴-m-3×（-3）=5，

解得m=4．

故答案为4．

三、解答题

18．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；

（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；

（2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；

（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.

【详解】

解：（1）把代入中，

抛物线的解析式为：

（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：

整理得：

∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，

解得：

∴

（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，
解得m=±，∴m=-，

当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴=3，
∴m=，
综上所述，m的值为-或．

19．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x＋2m﹣8＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根．

（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）m＜4

【分析】

（1）证明Δ≥0即可；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．

【详解】

解：（1）证明：∵Δ=[-（m-2）]2-4×（2m-8）

=m2-4m+4-8m+32

=m2-12m+36

=（m-6）2．

∵（m-6）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）用因式分解法解此方程x2-（m-2）x+2m-8=0，

可得（x-2）（x-m+4）=0，解得x1=2，x2=m-4，

若方程有一个根为负数，则m-4＜0，

故m＜4．

20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点．将直线绕着点顺时针旋转90°后，分别与轴、轴交于点，．

（1）若，求直线的函数表达式．

（2）连接，若的面积是5，求点的运动路径长．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；

（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．

【详解】

解：（1）因为，且点在轴正半轴上，

所以点的坐标为．

设直线的函数表达式为，

将点，的坐标分别代入，得

解得

所以直线的函数表达式为．

（2）设，则．

因为的面积是5，

所以．

所以，即．

解得或（舍去）．

因为，

所以点的运动路径长为．

21．（2021·广东佛山·九年级阶段练习）已知两个整式，．

（1）若的值是1，求和的值；

（2）若的值是0，求的值．

【答案】（1），A=-1；（2）或

【分析】

（1）根据的值求出，从而求得的值；

（2）根据的值是0，得到关于的一元二次方程，从而求解．

【详解】

解：（1）∵的值是1，∴，

∴；

∴；

（2）∵的值是0，

∴，

即，

，∴或．