考点10一元一次不等式（组）（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（人教版）

考点10一元一次不等式（组）

考点总结

1.不等式的概念

定义:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

不等式的解:使不等式成立的未知数叫做不等式的解.

不等式的解集:一个含有末知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.

解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式.

2.不等式的性质

性质1:不等式的两边都加(或减)同一个数(或整式),不等号的方向不变。

即如果,那么

性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,

即如果,那么

性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,

即如果,那么

3.一元一次不等式

定义:只含有1个末知数,末知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.

一般形式:或.

求解步骤:

(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.

注意:化系数为1时,当系数为负数时,不等号的方向要改变.

4.一元一次不等式组

定义:关于同一个末知数的两个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组；

解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.

解集的四种情况:当时,

(1)不等式组的解集为；口诀:同大取大.

(2)不等式组的解集为；口诀:同小取小.

(3)不等式组的解集为

口诀:大小小大中间找.

(4)不等式组的解的情况为无解；口诀:大大小小找不到(无解).

真题演练

一、单选题

1．（2021·河南周口·二模）如果，，那么一次函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由，可知结合选项的图像即可得结论．

【详解】

，

图像经过一二四象限．

故选B．

2．（2021·浙江拱墅·二模）已知a＜b，则（　　）

A．a+1＜b+2 B．a﹣1＞b﹣2 C．ac＜bc D．

【答案】A

【分析】

根据不等式的基本性质进行逐项判断即可，也可以举反例进行判断．

【详解】

解：A．∵a＜b，1＜2，

∴a+1＜b+2，故本选项符合题意；

B．不妨设a＝1，b＝2，满足a＜b，

但a﹣1＝b﹣2，故本选项不合题意；

C．不妨设c＝0，

则ac＝bc，故本选项不合题意；

D．不妨设c＝2，

则，故本选项不合题意；

故选：A．

3．（2021·重庆·字水中学三模）若数使关于的不等式组有解，且使关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ）

A．8 B．12 C．16 D．18

【答案】A

【分析】

根据不等式组有解确定参数的取值范围，再解分式方程，由分式方程的解是非负整数，确定参数a的取值范围，据此解得符合条件的整数解．

【详解】

解：

解不等式①得，，

解不等式②得，

不等式组有解

解分式方程得

有非负整数解，

，且为整数，

，且为整数，

即且，为2的倍数，且

且，为2的倍数，

所有满足条件的整数的值之和是8，

故选：A

4．（2021·陕西师大附中模拟预测）已知一次函数y＝（3﹣2k）x＋6（k为常数）的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，y1＜y2，则k的值可能是（    ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】

利用一次函数y随x的增大而减小的性质，得3﹣2k＜0，通过求解一元一次不等式，即可得到答案．

【详解】

∵一次函数y＝（3﹣2k）x+6（k为常数）的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，y1＜y2，

∴3﹣2k＜0，

解得k＞，

∴A、B、C不符合题意，D符合题意

故选：D．

5．（2021·江西南昌·七年级期末）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【详解】

解：不等式组整理得：，其解集为x＞3，

在数轴上表示为：

故选：C．

6．（2021·安徽包河·三模）已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，ac+b+1=0（c≠1），则（    ）

A．a=1，b2-4ac> 0 B．a≠1，b2-4ac≥0 C．a=1，b2-4ac< 0 D．a≠1，b2-4ac≤0

【答案】A

【分析】

由，得，代入，可求得；由，利用完全平方公式变形，可求得．

【详解】

解：由，得，

将代入，得，

∴，

∵，即，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

故选：A．

7．（2021·福建泉州·二模）如图，数轴上两点M、所对应的实数分别为、，则的结果可能是（    ）．

A．1 B． C．0 D．－1

【答案】D

【分析】

根据数轴得到点M、所对应的实数的范围，再结合实数的加法解题．

【详解】

解：依题意得，

则的结果可能是－1，

故选：D．

8．（2021·内蒙古包头·一模）下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．m，n为整数，若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】

根据绝对值的性质可以判断A；根据同底数幂的乘法可以判断B，根据任何不等于0的数的0次方幂都等于1可以判断C；由平方差公式结合不等式可以判断D．

【详解】

解：A、若，则，解得，故此选项不符合题意；

B、m，n为整数，若，，则，故此选项不符合题意；

C、若，即，故此选项不符合题意；

D、若，则，故此选项符合题意．

故选D．

9．（2021·安徽·合肥38中三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

分别求出两个不等式的解集，在找到其公共部分，在数轴上表示出来即可．

【详解】

解： 由得：，

由得：，

故不等式组的解集为：，

在数轴上表示为：．

故选：A．

10．（2021·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为（    ）

A．且 B．且

C． D．且

【答案】B

【分析】

把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．

【详解】

解：方程两边都乘以（x-2）得：4x-m-3= x-2，

解得：x=．

∵x-2≠0，

∴-2≠0，

∴m≠5；

∵分式方程的解为非负数，

∴≥0，

∴m≥-1．

∴m的取值范围为：m≥-1且m≠5．

故答案为：B．

二、填空题

11．（2021·云南麒麟·一模）若两个点，均在反比例函数（为正整数）的图象上，且，则__________．

【答案】1

【分析】

利用反比例函数的性质计算即可

【详解】

解：∵ ，又

∴反比例函数图像出现在第二、四象限

∴k-2<0

k<2

∵为正整数

∴=1

故答案为：1

12．（2021·广东龙湖·七年级期末）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】

表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可．

【详解】

解：，解得

∵不等式只有2个正整数解

∴，解得

故答案为：

13．（2021·天津滨海新·一模）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得________________；

（2）解不等式②，得________________；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为__________________．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）

【分析】

（1）解出不等式的解集即可

（2）解出第二个不等式的解集即可

（3）再在数轴上画出解集即可

（4）找出两个解集的公共部分即为解集

【详解】

（1）解：由①得：

（2）

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：

（4）不等式组的解集为：

故答案为：

14．（2021·北京房山·二模）已知，且实数满足，请你写出一个符合题意的实数的值___．

【答案】-3

【分析】

根据不等式的性质解答即可．

【详解】

解：∵，

∴当c>0时，，

当c<0时，，

故答案为：-3（答案不唯一）．

15．（2021·四川成都·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．

【答案】

【分析】

先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．

【详解】

解：画树状图如下：

所以一共有种等可能的结果，

又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：

＜恒成立，为正整数，

满足条件的有：共种情况，

所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：

故答案为：

三、解答题

16．（2021·河南·二模）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．

（1）求两种球拍每副各多少元？

（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

【答案】（1）直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．

【分析】

（1）设直拍球拍每副x元，根据题中的相等关系：20副直拍球拍的价钱+15副横拍球拍的价钱＝9000元；10副横拍球拍价钱－5副直拍球拍价钱＝1600元，建立方程组即可求解；

（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式可得出m的取值范围，再根据题意列出费用关于m的一次函数，并根据一次函数的性质解答即可.

【详解】

解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，

 解得， ，

答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；

（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40-m）副，

由题意得，m≤3（40-m），

解得，m≤30，

设买40副球拍所需的费用为w，

则w=（220+20）m+（260+20）（40-m）

=-40m+11200，

∵-40＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m=30时，w取最小值，最小值为-40×30+11200=10000（元）．

答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．

17．（2021·广东潮阳·七年级期末）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

【答案】，见解析

【分析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【详解】

解：，

解不等式①，得：；

解不等式②，得：，

故不等式组的解集为：．

将不等式组的解集表示在数轴上：

．

18．（2021·湖北蔡甸·二模）解不等式组请按下列步骤完成解答：

（1）解不等式①，得______；

（2）解不等式②，得______；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集为______．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

解：（1）对于不等式①，移项可得；

（2）对于不等式②，去括号得：，

移项合并同类项得：；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为．