考点13一次函数的应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点13一次函数的应用

【命题趋势】

一次函数的应用考查内容有：①由一次函数的图象获取实际问题的相关信息；②由一次函数的图象求其解析式后解决实际问题；③根据实际情境建立一次函数模型解决实际问题。

【常考知识】

①由一次函数的图象获取实际问题的相关信息；②由一次函数的图象求其解析式后解决实际问题；③根据实际情境建立一次函数模型解决实际问题。

【夺分技巧】

1、一次函数的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题。解决这类题型关键是弄清纵、横轴各表示什么量，图象上的每一个点表示什么实际意义，两图象的交点的含义以及图象的变化趋势，倾斜度的大小各表示什么含义等。2、实际问题中一次函数的步骤：（1）分析问题：①借助图表、文字信息等内容分析问题中的数量关系，合理选择自变量和函数，确定函数解析式；② 根据函数图象获取信息，分析数量关系。（2）确定模型：建立一次函数模型并写出自变量的取值范围。（3）解决问题:运用一次函数的性质解决问题。

真题演练

一、单选题

1．（2021·全国·八年级单元测试）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【分析】

分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．

【详解】

解：当时，如图，

则，为常数；

当时，如下图，

则，为一次函数；

故选：D．

2．（2021·云南五华·一模）如图所示，容器内的水面高度是，现向该容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器被注满之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）

A．正比例函数关系 B．反比例函数关系

C．一次函数关系 D．二次函数关系

【答案】C

【分析】

根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．

【详解】

解答：解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.4t＋20，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
故选：C．

3．（2021·江苏徐州·二模）函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有（  ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】

利用函数的解析式求出A，B的坐标，可得到OA＝，OB＝3，进而得出∠OAB＝60°，这样x轴上在点A的两侧各存在一点，使△ABC为等腰三角形，答案可得．

【详解】

解：∵当x＝0时，y＝﹣3，

∴B（0，﹣3）．

∴OB＝3．

∵当y＝0时，x＝，

∴A（，0）．

∴OA＝．

在Rt△OAB中，

∵AB＝＝2，

∴∠OAB＝60°．

点C在x轴上，△ABC为等腰三角形，

当AB=AC时

∴x轴上在点A的两侧各存在一点，使△ABC为等腰三角形，如下图：

当AB=BC时

∵∠OAB＝60°

∴△ABC为等边三角形

∴C点位置和AB=AC时左侧C点重合

故满足条件的点C共有2个

故选：C．

4．（2021·江苏姑苏·二模）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论：

①；

②；

③甲车从A地到B地共用了7小时；

④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】

①由函数图象中的信息求出m的值；

②根据“路程时间速度”求出甲的速度，并求出a的值；

③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；

④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．

【详解】

解：由题意，得，故①结论正确；

，则，故②结论正确；

设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，

由题意，得：，

解得，

当时，，

解得：，

甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；

当时，．

设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为，

由题意得：，

解得，

．

当时，

解得：，

当时，

解得：，

，，

所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距，故④结论错误．

正确结论的个数是3个．

故选：B．

5．（2021·重庆云阳·九年级阶段练习）如图．，两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在，之间的地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回地，甲继续往地前行．甲到达地后停止骑行，乙骑行到达地时也停止（乙在地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

①甲的速度为150米/分                        ②乙的速度为240米/分

③图中点的坐标为 ④乙到达地时，甲与地相距900米

A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②④

【答案】B

【分析】

根据题意和函数图象可以得到甲、乙的速度，从而可以求得乙到达A地时，甲与B地相距的路程，据此求解即可判断．

【详解】

解：由图象可得，

甲的速度为：900÷6=150（米/分），故①正确；

乙的速度为：150×15÷（15-6）=250（米/分），故②不正确；

乙骑行到A地时，甲骑车用的时间为：15+（15-6）=24（分），

则乙到达A地时，甲与B地相距的路程是：4500-150×24=900（米），故④正确；

4500-900=3600，则M(24，3600)，故③正确；

故选：B．

6．（2021·湖北武汉·模拟预测）杆秤是我国传统的计重工具．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为x（单位：cm）时，秤钩所挂物重为y（单位：kg），则y是x的一次函数．下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ）

A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组

【答案】C

【分析】

在平面直角坐标系中描出这些点，观察图象即可判断．

【详解】

解：在平面直角坐标系中描出这些点，通过观察发现，第三组数据记录错误；

故选：C．

7．（2021·陕西·西安交通大学附属中学航天学校三模）若直线经过点，直线经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据对称的性质得出两个点关于y轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与y轴的交点即可．

【详解】

解：∵直线l1经过点（-1，4），直线l2经过点（3，0），且l1与l2关于y轴对称，

∴两直线相交于y轴上，l2经过点（3，0）的对称点（-3，0）在直线l1上，

设直线l1的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴l1与l2的交点坐标是（0，6），

故选：D．

8．（2021·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级阶段练习）已知两地相距3千米，小黄从地到地，平均速度为4千米/小时，若用表示行走的时间（小时），表示余下的路程（千米），则关于的函数解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据路程=速度×时间，容易知道y与x的函数关系式．

【详解】

解：根据题意得：

全程需要的时间为：（小时），

∴

故选D．

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．

【详解】

解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，

∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，

∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，

∴∠QPM=∠PQ′N，

在△PQM和△Q′PN中，

，

∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，

∴PN=QM=，Q′N=PM=，

∴ON=1+PN=，

∴Q′(，)，

∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，

当m=2时，OQ′2有最小值为5，

∴OQ′的最小值为，

故选：B．

10．（2021·湖北东西湖·二模）小明用刻度不超过100°C的温度计来估计某食用油的沸点温度，将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10 s测量一次锅中的油温，得到如下数据：

当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（    ）

A．150°C B．170°C C．190°C D．210°C

【答案】D

【分析】

根据表格中的数据求出油温y和时间t之间的函数表达式，再将t=100代入即可.

【详解】

解：由表中数据可知油温y随着时间t的增长而匀速增长，

设y=kt+b，将（0，10），（10，30）代入，

，解得：，

∴y=2t+10，

当t=100时，代入，y=210，

这种油的沸点温度是210°，

故选D.

二、填空题

11．（2021·江苏滨海·一模）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位∶千米/小时）的范围是_____．

【答案】

【分析】

先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间追上甲车，注意临界点，乙再点12点时追上甲和13点追上甲，解不等式即可．

【详解】

解：根据图象可得，甲车的速度为60÷1=60（千米/时）．

由题意，得

解得．
故答案为：．

12．（2021·江苏南通·中考真题）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是___________℃．

【答案】52

【分析】

根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间t的式子表示此时的温度T，利用一次函数的性质即可解决．

【详解】

解：设时间为t分钟，此时的温度为T，

由表格中的数据可得，

每5分钟，升高15℃，故规律是每过1分钟，温度升高3℃，

函数关系式是T=3t+10；

则第14分钟时，即t=14时，T=314+10=52℃，

故答案为：52．

13．（2021·上海奉贤·三模）将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，那么k的值是_____．

【答案】

【分析】

根据直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，可得，即可得k的值．

【详解】

解：∵将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，

∴直线y＝（k+1）x﹣2和直线y＝﹣3x平行，

∴k+1＝﹣3，

解得k＝﹣4，

故答案为：﹣4．

14．（2021·全国·七年级单元测试）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：

则租车一天的最低费用为____元.

【答案】1450

【分析】

根据题意，求出大巴车，中巴车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可.

【详解】

解：大巴车每个座位的费用为：（元），

中巴车每个座位的费用为：（元），

小巴车每个座位的费用为：（元），

方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元.

方案2：用中巴车，需要2辆，费用为：1600元.

方案3：用小巴车，需要3辆，费用为：元.

方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元.

方案5：用大巴车1辆和小巴车1辆，费用为：1450元.

则租车一天的最低费用为1450元.

故答案为1450.

15．（2021·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△OAB，点A的对应点A是直线上一点，则点B与其对应点B间的距离为______．

【答案】5．

【详解】

解：由点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△OAB，点A的对应点A，所以点A的纵坐标为4，把y=4代入可得x=5，即OO=5．

根据平移的性质可得BB=OO=5，即点B与其对应点B间的距离为5．

故答案为：5．

16．（2021·吉林宽城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB+PA取最小值时，点P的坐标为_____．

【答案】

【分析】

利用三角形的三边关系可得出当点P在线段AB上时，PA+PB取得最小值，此时PA+PB=AB，由点A，B的坐标可知直线AB的解析式为y=1，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当PB+PA取最小值时点P的坐标．

【详解】

解：在△PAB中，PA+PB＞AB，

∴当点P在线段AB上时，PA+PB取得最小值，此时PA+PB＝AB．

∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），

∴直线AB的解析式为y＝1．

当y＝1时，x＝1，

∴当PB+PA取最小值时，点P的坐标为（1，1）．

故答案为：（1，1）．

17．（2021·河南·模拟预测）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本）

【答案】125

【分析】

设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，根据题意列出不等式求出的范围，然后根据题意列出与的函数关系即可求出答案．

【详解】

解：设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，

甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，

由题意可知：，

解得：，

此项目获得利润，

∵

∴随的增大而减小，

∴当时，

的最大值为万元，

故答案为：125．

三、解答题

18．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．

（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；

（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；

（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1

【分析】

（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；

（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；

（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA∥BC，

∵，

∴，

∴点C的坐标为，

∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，

∴设时间为m，则，

∴，

设直线PQ的解析式为，

代入解得，

设直线OB的解析式为，

代入点B的坐标，求得，

联立 ，

解得，

故点D的坐标为 ，

故答案为；

（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），

连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，

∵点D（3,2），点，

∴点M的坐标为，，

∴，

∵，

∴点H在上运动，

连接HM，

由图可知，

，

当三点共线时，取得最小值，

即，

故OH的最小值为；

（3）存在，理由如下，

连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，

∵，

∴点M在上，

∵与轴相切，在上，

∴

连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，

∴

∴

∴，

连接交x轴于点,交于BC与点，

设直线的解析式为,

代入点，，

解得直线的解析式为，

∴当时，,

∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．

19．（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；

信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，

信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为

，且当时，；当时，．

请根据以上信息，解决下列问题．

（1）与之间的函数表达式为            ；

（2）若（万元/吨），求的值；

（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．

【分析】

（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为；

（2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解，

（3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．

【详解】

解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，

∴与之间的函数表达式为；

（2）当时，，所以有，解之得，．

当时，，所以有，解之得，．

∴，

当时，，解之得，

当时，，解得．，所以舍去．

∴的值为4；

（3）设每场获得的利润为（万元），则有

当时，，

∴当时，最大，且最大值为万元．

当时，，

∴当时，最大，且最大值为万元．

∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．

20．（2021·江苏建邺·二模）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按元/ 计费；月用水量超过时，其中仍按元/收费，超过部分按元/ 计费，设每户家庭月用水量为时，应交水费元．

（1）分别写出和时，与的函数表达式．

（2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：

小明家第二季度共用水多少立方米？

【答案】（1）当0≤x≤20时，当x＞20时；（2）56立方米

【分析】

（1）根据题意写出收费和用水量的函数关系式；
（2）根据每月用水量20m³时收费50元，然后根据四、五月份收费小于50元和六月份大于50元分别代入y=2.5x 和y=3.2x-14中求出x，再相加即可．

【详解】

（1）当时，；

当时，；

当时，

四、五月份的月用水量比少，六月份的月用水量比多

令，得

令，得

令，得

（立方米）

第二季度共用水立方米

21．（2021·湖南赫山·三模）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1与y2之间的函数图象如图所示．

（1）观察图象可知：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；

（2）求出y1，y2与x之间的函数关系式．

【答案】（1）6，8，10；（2）y1＝30x；y2＝

【分析】

（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值，由图可求m的值；

（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分0≤x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；

【详解】

解：（1）∵＝0.6，

∴非节假日打6折，a＝6，

∵＝0.8，

∴节假日打8折，b＝8，

由图可知，10人以上开始打折，

所以，m＝10；

故答案为：6,8,10；

（2）设y1＝k1x，

∵函数图象经过点（10，300），

∴10k1＝300，

∴k1＝30，

∴y1＝30x；

0≤x≤10时，设y2＝k2x，

∵函数图象经过点（10，500），

∴10k1＝500，

∴k1＝50，

∴y1＝50x，

x＞10时，设y2＝kx+b，

∵函数图象经过点（10，500）和（20，900），

∴，

∴，

∴y2＝40x+100；

∴y2＝．