考点04一次方程（组）（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点04一次方程（组）

考点总结

1．定义

(1)含有未知数的等式叫做方程；

(2)只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次，这样的整式方程叫做一元一次方程；

(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为一次，这样的整式方程叫做二元一次方程．

(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组．

2．方程的解

(1)能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．

(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．

(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．

3．解法

(1)解一元一次方程主要有以下步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法．即把多元方程通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解．

4.应用

（1）列方程(组)解应用题的一般步骤

①审题；

②设未知数；

③找出包含未知数的等量关系式；

④列出方程（组；

⑤求出方程（组）的解；

⑥检验并作答．

（2）各类应用题的等量关系

①行程问题：路程＝速度×时间；

相遇问题：两者路程之和＝全程；

追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．

②工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．

③几何图形问题

面积问题：体积问题还有其他几何图形问题：如线段、周长等

④利润问题

利润=销售价-进货价

利润率=

销售价=（1+利润率）×进货价

真题演练

一．选择题（共3小题）

1．（2020•盐城）把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（　　）

A．1 B．3 C．4 D．6

【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．

【解答】解：由题意，可得8+x＝2+7，

解得x＝1．

故选：A．

2．（2021•海安市模拟）若关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，那么k的值是（　　）

A． B． C．6 D．10

【分析】把x＝﹣3代入方程得出2k+3﹣4＝0，再求出k即可．

【解答】解：∵关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，

∴2k+3﹣4＝0，

解得：k，

故选：A．

3．（2021•盐城模拟）小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．

【解答】解：A、设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝30，解得x＝3，故本选项不符合题意；

B、设最小的数是x，则x+x+6+x+12＝30，解得x＝4，故本选项不符合题意；

C、设最小的数是x，则x+x+1+x+8＝30，解得x＝7，故本选项不符合题意；

D、设最小的数是x，则x+x+6+x+14＝30，解得x，故本选项符合题意．

故选：D．

二．填空题（共5小题）

4．（2021•扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 　20　天追上慢马．

【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程＝速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，

依题意，得：240x＝150（x+12），

解得：x＝20，

∴快马20天追上慢马，

故答案为：20．

5．（2021•锡山区模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？则快马 　18　天可追上慢马．

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得200x＝120x+120×12．

解得x＝18．

即快马18天可以追上慢马．

故答案是：18．

6．（2021•建湖县二模）已知x＝﹣1是关于x的一元一次方程5x﹣3＝2m﹣8x的解，则m＝　﹣8　．

【分析】根据x＝﹣1为已知方程的解，将x＝﹣1代入方程求m的值即可．

【解答】解：把x＝﹣1代入方程5x﹣3＝2m﹣8x，

得﹣5﹣3＝2m+8，

解得m＝﹣8．

故答案为：﹣8．

7．（2021•如皋市二模）在我国东汉年间编订的数学经典著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，则可列一元一次方程为 　3（x﹣2）＝2x+9　．

【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x的一元一次方程．

【解答】解：根据题意得：

3（x﹣2）＝2x+9．

故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．

8．（2021•泗洪县三模）如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为　16　．

【分析】根据题意可知★＝2个△＝8个〇＝16个□，再代入★÷□即可计算求解．

【解答】解：∵△+△＝★，

∴★＝2个△，

∵△＝〇+〇+〇+〇，

∴★＝8个〇，

∵〇＝□+□，

∴★＝16个□，

∴★÷□＝16．

故答案为：16．

三．解答题（共10小题）

9．（2021•靖江市一模）现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份．如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．

【分析】设每次所用的甲种金属有xkg，根据两次重新熔炼后甲种金属所占份额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设每次所用的甲种金属有xkg，

依题意得：.，

解得：x＝5，

答：每次所用的甲种金属有5kg．

10．（2021•鼓楼区一模）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？

【分析】设安排x名工人制作甲配件，安排（7﹣x）名工人制作乙配件，由题意可得等量关系：每天制作的甲乙配件的个数相等，得出方程，求出即可．

【解答】解：设安排x名工人制作甲配件，安排（7﹣x）名工人制作乙配件，

900x＝1200（7﹣x），

解得：x＝4，

7﹣4＝3（名），

答：安排4名工人制作甲配件，安排3名工人制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等．

11．（2021•东海县模拟）某班开展了环保知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；

（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？

【分析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解答即可；

（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．

【解答】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据题意得：

6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，

解得x＝19.5，

因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；

（2）设笔记本的单价为a元，根据题意得：

6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，

整理得：xa，

因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，

所以19.5＜x＜22，

∵x取整数，

∴x＝20，21．

当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；

当x＝21时，a＝4×21﹣78＝6，

所以笔记本的单价可能是2元或6元．

12．（2021•海门市模拟）某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，也刚好坐满，且可以少租一辆．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．

【分析】问员工的人数是多少？可设员工人数为x人，根据45座客车比60座客车多租1辆的等量关系，列出方程计算即可求解．

【解答】解：问员工的人数是多少？

设员工人数为x人，依题意有

，

解得x＝180．

答：员工人数是180人．

13．（2021•泰州模拟）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，

由题意得：x：600＝100：60，

∴x＝1000，

∴1000﹣600﹣100＝300，

答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，

由题意得y＝200y，

解得y＝500，

答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

14．（2020•山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×（1+50%）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．

【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，售价为80%×（1+50%）x元，

根据题意，得80%×（1+50%）x﹣128＝568，

解得x＝580．

答：该电饭煲的进价为580元．

15．（2020•盱眙县校级模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．

【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，

根据题意得：x（x+4.5）＝1，

解得x＝6.5．

答：木头长6.5尺．

16．（2020•泰州二模）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：

（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．（总支出包含损耗、运费和装卸费用）

（2）如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？

【分析】（1）设本市与A市之间的路程是x千米，由汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程可求解；

（2）分别求出火车和汽车的运费，求出两者运费相等时，S的值，即可求解．

【解答】（1）设本市与A市之间的路程是x千米，

由题意可得：，

解得x＝400，

答：本市与A市之间的路程是400千米，

（2）火车的运输费用为200+15S+2000＝17S+2000，

汽车运输的费用为20S+900＝22.5S+900，

当17S+2000＝22.5S+900，

解得S＝200，

答：当S＞200时，选择火车运输，

当S＜200时，选择汽车运输，

当S＝200时，两种方式都一样．

17．（2020•南京一模）现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？

【分析】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机（120﹣x）台．根据20小时共挖掘土方704000立方米列出方程，求解即可．

【解答】解：设大型挖掘机x台，则小型挖掘机（120﹣x）台．根据题意得：

20[360x+200（120﹣x）]＝704000，

解得x＝70，

则120﹣x＝50，

答：大型挖掘机70台，小型挖掘机50台．

18．（2020•如皋市一模）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出甲、乙两件衣服，其中甲件盈利25%，乙件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？说明理由．

【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．

【解答】解：设甲件衣服的进价是x元，依题意有

x+25%x＝60，

解得：x＝48，

设乙件衣服的进价为y元，依题意有

y﹣25%y＝60，

解得：y＝80．

这两件衣服的进价是x+y＝128元，而两件衣服的售价为120元．

120﹣128＝﹣8（元）．

故这两件衣服亏损8元．