数学5 平方差公式优质课课件ppt

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灵活地运用平方差公式进行简便计算.2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.3. 利用平方差公式解答简单问题.
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
1.平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
3.应用平方差公式的注意事项 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号
如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)请表示图1中的阴影部分的面积.
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
(a+b)(a-b)=a2-b2
想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=48997×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请 用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
(a+b)(a−b)=a2−b2
例1 计算:(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97=(100+3)(100－3)= 1002－32=10000 – 9=9991；
解: 118×122=(120－2)(120＋2)= 1202－22=14400－4=14396.
例2 计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.
例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2
2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2B．x2-1＝（x+1）（x-1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2-x＝x（x-1）
3.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是( )A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
4.计算20202-2019×2021=____.
5.已知a-b=1，a+b=2021，则a2-b2的值为_____.
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
(2) 原式=（50＋1）(50－1)
7.计算:(1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
（2）原式= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
8.计算： 20152 － 2014×2016.
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
9.对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.解:能.理由如下：A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.因为n是正整数，所以15n2一定能被15整除.
10.如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：（2n+1）2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.
注意：逆用了平方差公式奥！
平方差公式的应用及注意事项
1.利用平方差公式简化一些数字计算.2.逆用平方差公式进行化简、计算.
1.必须符合平方差公式的结构特征.2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算.3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化.4.在运算过程中，有时可以反复应用公式.