初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形第1课时一课一练

18.2.2 第1课时 菱形的性质

建议用时:45分钟    总分50分

一 选择题（每小题3分，共18分）

1．（2020 •桂林期末）一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（　　）

A．8 B．10 C．15 D．20

【答案】B

【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为4和5，

∴这个菱形的面积为4×5＝10；

故选：B．

2．（2020 •东坡区期末）如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠B＝120°，

∴∠130°，

故选：A．

3．（2020 •开福区期中）下列说法中，错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分 

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 

C．菱形的对角线互相垂直 

D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对角线互相平分，

故A正确；

根据平行四边形的判定可知：对角线互相平分的四边形是平行四边形，

故B正确；

根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直，

故C正确；

因为一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，

故D错误．

故选：D．

4.（2020 •海陵区期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BH⊥AD于点H，若AC＝4，BD＝3，则BH的长为（　　）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5

【答案】A

【解析】设AC、BD交于点O，如图：

∵在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝3，

∴AO＝COAC＝2，BO＝DOBD，AC⊥BD，

∴AD，

∵菱形ABCD的面积＝AD×BHAC×BD，

∴BH2.4，

故选：A．

5．（2020 •老河口市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AE，则菱形ABCD的周长等于（　　）

A．4 B．8 C．4 D．8

【答案】D

【解析】连接AC，

∵AE垂直平分边BC，

∴AB＝AC，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∴AB＝AC＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵AE，AE⊥BC，

∴AB＝AE÷sinB2，

∴菱形的周长为8．

故选：D．

6．（2020 •洪山区期末）将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为a，则阴影部分的周长总和等于（　　）

A．2020a B．4038a C．4040a D．4042a

【答案】B

【解析】根据题意知，将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2019个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，

如图，由题意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，

由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC＝∠DOA，

∴OE∥AD，

∴OE是△ACD的中位线《

∴OEADa，

∴一个阴影菱形的周长为：a×4＝2a，

∴2019个阴影菱形的周长和为：2a×2019＝4038a，

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共9分）

7．（2020•武汉模拟）如图，E是菱形ABCD的对角线的交点，点F在线段CE上，且AF＝AD，若∠CDF＝39°，则∠AFD＝　73°　．

【答案】73°

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵∠AFD＝∠ACD+∠CDF，

∴∠AFD＝39°+∠ACD，

∵AF＝AD，

∴∠ADF＝∠AFD＝39°+∠ACD，

∵∠DAF+∠ADF+∠AFD＝180°，

∴3∠ACD+39°+39°＝180°，

∴∠ACD＝34°，

∴∠AFD＝34°+39°＝73°，

故答案为：73°．

8．（2020 •淮安区期中）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm2，则阴影部分的面积为　10　cm2．

【答案】10

【解析】∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，

∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，

∴阴影部分的面积S菱形ABCD20＝10（cm2）．

故答案为：10．

9．（2020 •阳信县期末）菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为　5　．

【答案】5

【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，

∴AB＝AD，AO＝CO＝6，BO＝DO，S菱形ABCDAC•BD12×BD＝96，AC⊥BD，

解得：BD＝16，

∴OB＝OD＝8，

又∵点E是AB中点，

∴OE是△DAB的中位线，

∴OEAD，

在Rt△AOD中，AD10，

则OEAD＝5．

故答案为：5．

三、解答题（7分+8分+8分= 23分）

10．（2021•大洼区月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边的中点，连结EF，连结OE，若EF，BD＝4，求OE的长．

解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝4，

∴∠AOB＝90°，BO＝2，AOAC，

∵E、F分别是AB、BC边的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EFAC＝AO，

∴AB，

∵△AOB为直角三角形，E是AB边的中点，

∴OEAB．

11．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）若BE，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，

∴AF＝AE，

在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF（SAS）；

（2）解：连接BD，如图：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∵点E是边AD的中点，

∴BE⊥AD，

∴∠ABE＝30°，

∴AEBE＝1，AB＝2AE＝2，

∴AD＝AB＝2，

∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝22．

12．（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

解：（1）如图，连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，

∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝60°，

∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD为等边三角形，

∴∠4＝60°，AC＝AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH＝2，

S四边形AECF＝S△ABC．

△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4．