人教版八年级下册18.2.2 菱形获奖课件ppt

教学目标

1.理解菱形的定义，掌握菱形的性质.

2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形性质解决相关问题.

3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.

4.通过观察、实验、猜想、验证、推理交流等数学活动，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力.

教学重难点

重点：菱形的性质定理的证明及应用.

难点：菱形的性质探究及菱形知识的综合应用.

教学过程

导入新课

出示问题：什么叫平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形的性质是什么？平行四边形和矩形有什么关系？

教师：我们已经学习了矩形，它是一种特殊的平行四边形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可用一组对边可以活动的教具（如图1所示）进行演示），改变平行四边形的边，使其一组邻边相等，从而引出菱形的概念.

图1

感受生活

教师：你能说出生活中用到菱形的实例吗？课件展示含有菱形的实物图片，如图2所示.

图2

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

教师强调注意：菱形具备的两个条件：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等.

因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形所具有的所有性质.由于菱形的特殊性，它还具有哪些性质呢？

探究新知

活动1：猜想菱形的性质.

学生活动：同学们拿出长方形纸片、剪刀，将矩形对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，即可得到菱形，如图3所示.

图3

操作完之后，教师提出问题：

（1）它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

（2）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

（3）有哪些是等腰三角形？有哪些是直角三角形？

总结：（1）菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴是对角线所在的直线.

（2）菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角.

（3）对角线把菱形分成2对分别全等的等腰三角形和 4个全等的直角三角形.

教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分.菱形还具有哪些特殊的性质呢？猜一猜.

学生猜想：1.菱形的四条边都相等.

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

对称性：菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.菱形也是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴.

活动2：证明菱形的性质.

猜想1：菱形的四条边都相等.

图4

已知：如图4所示，四边形ABCD是菱形.

求证：AB＝BC＝CD＝DA.

分析：由菱形的定义，利用平行四边形的性质可使问题得证.

证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形.

∴ AB＝CD，AD＝BC，∴ AB＝BC＝CD＝AD.

定理：菱形的四条边都相等.

几何语言：

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AB＝BC＝CD＝AD.

猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

图5

已知：如图5所示，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.

求证：（1）AC⊥BD；

（2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.

分析：根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”的性质来证明.

证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AD＝CD，AO＝CO，

∴ AC⊥BD.

（2）∵ AD＝AB，BA＝BC，AC⊥BD，

∴ AC平分∠BAD，BD平分∠ABC.

同理可证CA平分∠BCD，DB平分∠ADC.

定理：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

几何语言：如图5所示，

∵ AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，

∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.

活动3：菱形的面积.

教师：如图6所示，菱形是特殊的平行四边形，那么能利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积吗？怎样计算？

图6

学生：S菱形＝BC·AE.

教师：除了上述方法外， 能不能把菱形转化成四个直角三角形或两个等腰三角形求其面积呢？

鼓励学生动脑思考，自己探究此题的解答方法，不明白的可在小组内交流意见.

学生总结：

S菱形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD.

S菱形＝边长×对应高＝对角线乘积的一半.

注意：教学时教师组织学生总结菱形的性质，从边、角、对角线、对称性四个角度总结，不要忘记“每条对角线平分一组对角”这条性质.根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可利用勾股定理计算菱形中线段的长.

新知应用

图7

例1　如图7所示，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.

解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形，

∴ AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.

∴ 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10 （m），

BO＝＝＝（m），

∴ 花坛的两条小路长AC＝2AO＝20.00 m，BD＝2BO＝≈34.64（m），

花坛的面积

S菱形ABCD＝AC·BD＝≈346.4（m2）.

图8

例2　已知：如图8所示，四边形ABCD是菱形，F是AB边上一点，连接DF交AC于点E，连接BE.

求证：∠AFD＝∠CBE.

证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ CB＝CD， CA平分∠BCD，

∴ ∠BCE＝∠DCE.

又 CE＝CE，∴ △BCE≌△DCE（SAS），

∴ ∠CBE＝∠CDE.

∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠AFD＝∠CDE，

∴ ∠AFD＝∠CBE.

课堂小结

从定义上来谈——有一组邻边相等的平行四边形是 菱形.

从性质上来谈——①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形是轴对称图形；③菱形的四条边都相等；④菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角.

从计算上来谈—— ①有关菱形的问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；②菱形的面积等于它的对角线乘积的一半.

布置作业

教材第57页练习第1，2题.

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