数学第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形学案

第8课时　菱形的性质

1.理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质.

2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题.

3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.

菱形性质的探究与应用.

灵活运用菱形的性质进行证明或计算.

一、情景导入，感受新知

出示部分图片(给学生发挥想象的余地)，在图片中发现了哪些熟悉的图形？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P55～56内容，完成下列问题：

问题1：操作：演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形的概念.

归纳：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

符号语言：

四边形ABCD是菱形

【合作探究】

问题2：将一个矩形的纸对折两次(如图①②)，沿图③中虚线剪下，再打开，就得到一个菱形(如图④).

观察得到的菱形：

(1)你能看出图中哪些线段或角相等？

(2)得到哪些特殊三角形？

(3)菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴之间有什么位置关系？

(4)猜想菱形具有哪些性质？

归纳：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形是轴对称图形，对称轴有两条，是菱形两条对角线所在的直线.

性质1：菱形的四条边都相等.

符号语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA.

性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

符号语言：如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，

∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，

∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.

【师生活动】

①明了学情：学生动手操作时，是否能恰当的质疑，探究的方向是否正确、合理，能否有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究，并合情地作出猜想.

②差异指导：学生口头表述性质时，所用的语言是否恰当、准确，若有出现语言表述不恰当时应当及时给予纠正.

③生生互助：学生小组内交流、讨论，相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例：[教材P56例3]如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).

解：∵花坛ABCD的形状是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.

在Rt△OAB中，

AO＝AB＝×20＝10，

BO＝＝＝10.

∴花坛的两条小路长：

AC＝2AO＝20(m)，

BD＝2BO＝20≈34.64(m).

花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝AC·BD＝200≈346.4(m2).

归纳：菱形的面积公式：

①S菱形＝底×高

②S菱形＝AC·BD(AC，BD为菱形对角线)

【师生活动】

在学生独立思考后再通过交流和引导，让学生感受数学的严谨性，培养学生合情推理能力.

四、课堂小结　回顾新知

今天我们学了哪些内容？

(1)什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？

(2)菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？

五、检测反馈　落实新知

1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D)

A.两组对边分别平行

B.两组对角分别相等

C.对角线互相平行

D.对角线互相垂直

2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于(B)

A.50°　　　B.60°　　　C.70°　　　D.80°

第2题图 　　　第3题图

3.如图，菱形ABCD的周长为24，一条对角线AC的长为8，求菱形的面积为__16__.

4.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.

求证：∠AFD＝∠CBE.

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CB＝CD，CA平分∠BCD.

∴∠BCE＝∠DCE.又CE＝CE，

∴△BCE≌△DCE(SAS).

∴∠CBE＝∠CDE.

在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC.

∴∠AFD＝∠CBE.

六、课后作业　巩固新知