初中数学18.2.2 菱形导学案

第9课时　菱形的判定

1.理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法.

2.会用判定方法进行相关论证和计算.

3.通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比思想方法的作用.

菱形的判定定理.

探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.

一、情景导入，感受新知

小明参加剪纸艺术兴趣班时，老师给他布置了一个作业：一张矩形纸片经过怎样的折叠之后剪一次就能得到一个美丽的菱形图案呢？(图片展示)请你帮忙想一想，这是为什么？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P57～58，完成下列问题.

问题1：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？

继续转动木条，观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

猜想：对角线互相垂直的四边形是菱形.

证明猜想：已知，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.

求证：▱ABCD是菱形.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，OB＝OD

∵AC⊥BD

∴AB＝AD

∴▱ABCD为菱形.

归纳：定理：对角线互相垂直的四边形是菱形

【合作探究】

问题2：如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接BC，CD，得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.

猜想：四条边相等的四边形是菱形.

证明猜想：已知，如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.

求证：四边形ABCD是菱形.

(学生合作完成)

【师生活动】

①明了学情：关注学生探究过程，了解学生对两个定理的理解和掌握.

②差异指导：巡视全班，及时对学生进行引导点拨.

③生生互助：学生独立思考后，小组内交流、讨论相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：[教材P57例4]如图▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3.

求证：▱ABCD是菱形.

证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，

∴AB2＝AO2＋BO2.

∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.

∴▱ABCD是菱形.

变式　如图▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.

例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.

(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

证明：(1)在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，

∴∠BAC＝∠DAC.

在△ABF和△ADF中，

∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.

∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；

(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.

又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.

∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形.

【师生活动】

组织学生以小组合作的方式进行交流、讨论，形成共识后独立完成并在全班进行展示交流.

四、课堂小结　回顾新知

通过本节课的学习，你有了哪些收获？还存在哪些疑问？请说出你的想法，与同学们一起分享！

五、检测反馈　落实新知

1.下列条件不能判定“▱ABCD是菱形”的是(D)

A.AB＝BC　　　　　B.AC⊥BD

C.AD＝CD                   D.AC＝BD

2.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(D)

A.菱形

B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形

D.对角线相等的四边形

3.如图所示，在四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点且BE＝DF.

(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？

解：(1)证明：如图②，连接AC交EF于点O.

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA＝OC，OE＝OF.

∵BE＝DF，OB＝BE＋OE，OD＝OF＋DF，

∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.

(2)四边形ABCD也是菱形.理由如下：

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，即AC⊥BD.

由(1)可知，四边形ABCD是平行四边形，

∴▱ABCD是菱形.

六、课后作业　巩固新知