2022届新教材北师大版三角函数解三角形单元测试含答案3

2022届新教材北师大版  三角函数解三角形  单 元测试

一、选择题

1、已知为锐角，且，则(    )

A.     B.     C.     D.

2、的值为（    ）

A． B． C． D．

3、=______________．

4、

将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

5、

已知，，则（    ）

A． B． C． D．

6、在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

7、在中，若，，，则A等于（    ）

A．30° B．150° C．60° D．60°或120°

8、若则为（   ）

A． 等边三角形    B． 等腰三角形

C． 有一个内角为30°的直角三角形    D． 有一个内角为30°的等腰三角形

9、已知的面积为，且，则等于(　　)

A． 30°    B． 30°或150°    C． 60°    D． 60°或120°

10、已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝  (　　)

A．     B． 2    C． 4    D．

11、
将函数图象上每一点的横坐标伸长为为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（  ）

A．     B．

C．     D．

12、关于函数有如下命题，其中正确的个数有　　

的表达式可改写为

是以为最小正周期的周期函数；

的图象关于点对称；

的图象关于直线对称．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题

13、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________

14、

已知，且，则___________.

15、在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则当角C取最大值时，△的面积为__________．

16、在△中，分别是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，，则的值为________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，.

（1）求A，B，C；

（2）若，求的面积.

18、（本小题满分12分）设函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若f（x）在区间[-，a]上的值域为[-，1]，求实数a的取值范围．

19、（本小题满分12分）已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为

（1）求的弧度；

（2）求的值.

参考答案

1、答案B

详解：为锐角，

故选

点睛：本题主要考查了三角函数值的求解方法，灵活运用知识求解问题的能力，题目难度较小，属于基础题。

2、答案B

解析直接利用正切函数的诱导公式计算即可.

详解：.

故选：B

点睛

本题考查三角函数的诱导公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

3、答案

解析根据二倍角正弦公式的变形可知：．

考点：二倍角正弦公式．

4、答案A

解析

由题意得，

，其中，

函数是偶函数，，

.

故选：A．

5、答案B

解析

显然，故，则，则.

故选:B．

6、答案C

解析由正弦定理求得，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得，然后可由三角形面积公式得面积．

详解：由正弦定理得，，

，

∴．

故选：C．

点睛

本题考查求三角形面积，考查正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式，考查学生的运算求解能力．

7、答案A

解析直接利用正弦定理求解.

详解：在中，，，，

由正弦定理得：，

所以，

因为，

所以 ，

故选：A

点睛

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

8、答案B

解析根据正弦定理及条件等式，求得B与C的度数，进而即可判断出三角形的形状。

详解

因为，而由正弦定理可知

所以，即在三角形ABC中，可得B=45°

同理，由正弦定理可知

所以，即在三角形ABC中，可得C=45°

所以三角形ABC为等腰直角三角形

所以选B

点睛

本题考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础题。

9、答案D

解析由面积公式得，进而可求得，从而得解．

详解

由面积公式得，∴，A=60°或120°，

故选：D．

点睛

本题主要考查正弦定理之下的三角形面积公式与特殊角的三角函数值，属于基础题．

10、答案B

解析根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据△ABC的周长，联立方程组，可求出a的值．

详解

根据正弦定理，可化为

∵△ABC的周长为，

∴联立方程组，

解得a=2.

故选：B

点睛

（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．

（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．

11、答案C

详解：将函数图象上每一点的横坐标伸长为为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为

．

由题意得，解得，

又，故，

所以．

由，

得，

所以函数的单调递增区间为．

故选C．

点睛：（1）求解有关三角函数的性质的问题时，首项要将函数化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解．

（2）三角函数图象的变换包括平移变换和伸缩变换两种，解题时注意变换的顺序，其中要特别注意的是：在轴上的变换是针对于变量而言的，当的系数不是1时，要将系数提出来化为系数是1的形式．
 

12、答案C

解析利用诱导公式变形判断；由正弦函数的周期公式判断；求得的值可判断；求得的值可判断．

详解

，正确；

的最小正周期，错误；

，则的图象关于点对称，正确；

由不为最值，错误．

其中正确的个数为2.故选：C．

点睛

本题考查命题的真假判断与应用，考查诱导公式，型函数的图象和性质，属基础题．

13、答案

解析由三角函数的定义可求出的值，然后由诱导公式可得得到答案.

详解：点在角的终边上，则.

由三角函数的定义可得：

又

故答案为：

点睛

本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.

14、答案

解析

解：，且，

，

，，

故答案为：.

15、答案

详解：解：，，

在中，由余弦定理可得：，，时取等号．

此时，，

，

当取最大值时，的面积．

故答案为：．

点睛

本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16、答案

解析分析

由已知及正弦定理可得a=，利用三角形面积公式可得ac=5，联立①②可得a，c，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，由余弦定理可得b的值．

详解

∵，∴，可得：a=，①

∵S△ABC=acsinB=，sinB=，

∴ac=5，②

∴联立①②可得a=5，c=2，

∵sinB=，且B为锐角，

∴cosB==，

∴由余弦定理可得：b2=25+4﹣2×=14，解得：b=．

故答案为：．

点睛

解三角形的基本策略

一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

17、答案（1）答案见解析；（2）答案见解析.

（2）由（1）得当，时，和，时，分别求得三角形的面积．

详解：解：（1）∵，∴，由余弦定理得，

∵，∴，

∵

，

∴，

∴，

①当时，，；

②当时，，；

（2）由（1）得当，时，

∵，∴，∴；

当，时，由正弦定理得，∴，

∴.

点睛

方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；

（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；

（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.

解析

18、答案（1）[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）[，].

详解

（1）函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）=cos2x+sin2x+2sin（x-）cos（x-）

=-cos2x+sin2x=sin（2x-），

令2kπ+≤2x-≤2kπ+求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）若f（x）在区间[-，a]上的值域为[-，1]，

由x∈[-，a]，可得2x-∈[-，2a-]，∴≤2a-≤，求得≤a≤，

求实数a的取值范围为[，]．

点睛

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

解析

19、答案（1）（2）

（2）先由诱导公式化简待求式为，利用两角差的正切公式可求．

详解：（1）设扇形的半径为r，则，所以.

由可得，

解得.

（2）.

.

点睛

本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.

解析