2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数章末综合提升学案含解析北师大版必修第二册

第1章 三角函数

类型1　三角函数的定义及诱导公式

1．利用定义求三角函数值的两种方法

(1)先求出角α的终边与单位圆的交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值．

(2)在角α的终边上任取一点P(a，b)(原点除外)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

2．用诱导公式化简求值的方法

(1)将角化成2kπ±α，π±α，±α的形式，是三角函数式化简与求值的关键．

(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于建立已知和未知的联系，还应注意整体代换的应用．

【例1】　(1)若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为(　　)

A．(1，)    B．(，－1)

C．(－1，－)    D．(－1，)

(2)sin ＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

(1)D　(2)B　[(1)根据三角函数的定义，设P(x，y)，x＝|OP|cos π＝2×＝－1，y＝|OP|sin π＝2× ＝.

∴P点的坐标为(－1，).

 (2)sin(－510°)＝－sin 510°＝－sin 150°＝－sin 30°＝－.]

1．(1)已知角α的终边过点(－1，2)，则cos α的值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．－

(2)已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　　)

A．2    B．－2    C．2－    D．－2

(1)A　(2)C　[(1)由三角函数的定义可知，r＝，cos α＝＝－.

(2)因为锐角α终边上一点P的坐标为(2sin 2，－2cos 2)，

所以tan α＝＝＝

＝tan ，所以α＝2－，故选C.]

类型2　三角函数的图象

1．用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值；

第二步：在同一坐标系中描出各点；

第三步：用光滑曲线连接这些点．

2．对于三角函数图象变换问题，首先要利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数；另外，在进行图象变换时，可先平移后伸缩，也可以先伸缩再平移，无论哪种变换，记住每一个水平变换总是对变量x而言的．

【例2】　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

[解]　(1)由函数图象知A＝3，＝×＝5π，故ω＝.

由f(x)＝3sin 过点，

得3sin ＝0，

又<，故φ＝－，

∴f(x)＝3sin .

(2)由f＝3sin

＝3sin 为偶函数(m＞0)，

知m－＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.

∵m＞0，∴mmin＝.

故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．

2.如图是函数y＝A sin ＋k的一段图象．

(1)求此函数解析式；

(2)分析一下该函数图象是如何通过y＝sin x图象变换得来的．

[解]　(1)由图象知，

A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，

∴ω＝＝2.∴y＝sin (2x＋φ)－1.

当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|<，

∴φ＝.

∴所求函数解析式为y＝sin －1.

(2)把y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝

sin 的图象，

然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin 的图象，

再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，

最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．

类型3　三角函数的性质

1．求三角函数值域(最值)的方法

(1)利用sin x，cos x的有界性．

(2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误．

2．对于y＝A sin (ωx＋φ)，在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.

【例3】　已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．

(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．

(1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解．

(2)先求x∈时，2x＋的范围，再根据最值求a的值．

(3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值．

[解]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为

，k∈Z，

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

∴－≤sin ≤1，

∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.

(3)∵当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，

∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.

∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是

.

3．设函数f(x)＝－sin ，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1.

(2)由f(x)＝－sin 知，

当π≤x≤时，≤2x－≤.

所以－≤sin ≤1.

因此－1≤f(x)≤.

故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.

类型4　数形结合思想

所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．

【例4】　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．

　[观察图象可知，A＝1，T＝π，

∴ω＝2，f(x)＝sin (2x＋φ).

将代入上式得sin ＝0，

由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin .

函数图象的对称轴为x＝＝.

又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，

∴＝，

∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin ＝.]

4．函数f(x)＝sin x＋2，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

(1，3)　[f(x)＝sin x＋2|sin x|

＝

作出f(x)的图象如图所示，则k的取值范围为1＜k＜3.]

1．(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　)

A．3n

B．6n

C．3n

D．6n

A　[连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为＝，底角均为＝90°－，所以等腰三角形的底边长均为2cos (90°－)＝2sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为＝，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈＝6n×sin ＋6n×tan ，所以π≈3n×sin ＋3n×tan ＝3n(sin ＋tan )，故选A.]

2．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A.    B．    C．    D．

C　[由题图知，f＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z).设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，

∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C.]

3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.]

4．(2020·天津卷)已知函数f(x)＝sin .给出下列结论：

①f(x)的最小正周期为2π；

②f是f(x)的最大值；

③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．

其中所有正确结论的序号是(　　)

A．①     B．①③

C．②③     D．①②③

B　[f(x)＝sin (x＋)的最小正周期为2π，①正确；sin ＝1＝f()为f(x)的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)＝sin (x＋)的图象，③正确．故选B.]

5．(2020·江苏卷)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．

x＝－　[将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－)的图象，

∵2x－＝＋kπ(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时x＝－为与y轴最近的对称轴方程，故答案为：x＝－.]