新教材2023版高中数学第一章三角函数6函数y＝Asin(ωx φ)的性质与图象学案北师大版必修第二册

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§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象最新课标结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.[教材要点]要点一　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响eq \x(状元随笔)　(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 .(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．(4)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．要点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质1.定义域：________.2．值域：________.3．周期性：T＝________.4．对称性：对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))，对称轴是直线x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π－2φ,2ω)(k∈Z)．5．奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时是偶函数．6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．eq \x(状元随笔)　研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．[教材答疑]　[教材P44思考交流]y＝sin xeq \o(――――――→,\s\up17(向左平移),\s\do15(\f(π,3)个单位))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)把函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．(　　)(2)要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,3)))的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度．(　　)(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．(　　)(4)函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象是由函数y＝cos x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到的．(　　)2．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin x的图象(　　)A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度C．向上平移eq \f(π,3)个单位长度 D．向下平移eq \f(π,3)个单位长度3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝－eq \f(π,4) B．x＝eq \f(π,4)C．x＝eq \f(π,2) D．x＝π4．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝________.题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象——自主完成作出函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))的一个周期内的简图．方法归纳五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤(1)列表，令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，依次得出相应的(x，y)值．(2)描点．(3)连线得函数在一个周期内的图象．(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．题型二　三角函数的图象变换——师生共研例1　由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．选择方法：方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移方法归纳解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．跟踪训练1　(1)要得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象(　　)A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度　　B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度(2)把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为(　　)A．y＝2sin 2x B．y＝－2sin 2xC．y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) D．y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))题型三　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式——师生共研例2　如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图象，则该函数的解析式为________________________________________________________________________．方法归纳根据三角函数的图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为eq \f(T,2)，相邻的两条对称轴之间的距离为eq \f(T,2)，相邻的对称轴与对称中心之间距离为eq \f(T,4).(3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝eq \f(π,2)；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝eq \f(3π,2)；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．跟踪训练2　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)，x∈R))的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) B．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))C．f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) D．f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值是________．题型四　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用——师生共研例3　设f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3).(1)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)把y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．方法归纳1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．2．求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．跟踪训练3　某同学用“五点作图法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到g(x)的图象．若g(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．易错辨析　对图象变换本质理解不清出错例4　将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象先沿x轴向右平移eq \f(π,4)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，求与最终的图象对应的函数的解析式．解析：将原函数的图象沿x轴向右平移eq \f(π,4)个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，则与其对应的函数的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(5π,6))).易错警示§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．左　右2.eq \f(1,ω)3．A要点二1．R2．[－A，A]3.eq \f(2π,ω)[基础自测]1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．解析：将函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))).答案：B3．解析：对于函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求得x＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，可得它的图象的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，故选B.答案：B4．解析：由图象可得eq \f(T,2)＝eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,4)))－x0＝eq \f(π,4)，解得ω＝4.答案：4题型探究·课堂解透题型一解析：令t＝eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)，列表如下：描点连线得到如图所示的函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))一个周期内的图象：题型二例1　跟踪训练1　解析：(1)∵y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＝3sin 2(x＋φ)，∴2φ＝eq \f(π,4)，∴φ＝eq \f(π,8)，故需将函数y＝3sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度．(2)把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，所得图象的函数解析式为y＝cos 2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos 2x，最后把图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))＝－2sin 2x.故选B.答案：(1)C　(2)B题型三例2　解析：解法一　(单调性法)由图象可知：A＝2，T＝eq \f(5π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝3π＝eq \f(2π,ω)，则ω＝eq \f(2,3).∵点(π，0)在递减的那段图象上，∴eq \f(2π,3)＋φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)，则由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，得eq \f(2π,3)＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)．∵－π<φ<π，∴φ＝eq \f(π,3).∴该函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法二　(最值点法)由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝eq \f(2,3)，将最高点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2))代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋φ))，得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝2，∴eq \f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．又－π<φ<π，∴φ＝eq \f(π,3).∴该函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法三　(起始点法)由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝eq \f(2,3)，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ.由图象可得，x0＝－eq \f(π,2)，φ＝－ωx0＝－eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq \f(π,3).∴该函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法四　(图象平移法)由图象知，将函数y＝2sineq \f(2,3)x的图象沿x轴向左平移eq \f(π,2)个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))，即y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).答案：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)))跟踪训练2　解析：(1)由图象得A＝1，eq \f(T,4)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入函数f(x)解析式得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，又－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3)，因此函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象，可得A＝eq \r(2)，eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)，∴ω＝2.由图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，可得2×eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)．∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝eq \r(2)sineq \f(π,2)＝eq \r(2).答案：(1)B　(2)eq \r(2)题型四例3　解析：(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))).当x＝0时，函数f(x)有最小值，最小值f(x)min＝f(0)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋eq \r(3)＝－eq \r(3)；当x＝eq \f(5π,12)时，函数f(x)有最大值，最大值f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)－\f(π,3)))＋eq \r(3)＝4＋eq \r(3).(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)的图象，再把得到的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，得到y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq \r(3)的图象，所以g(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq \r(3).由2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)，k∈Z.所以g(x)的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．跟踪训练3　解析：(1)根据表中已知数据，可得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6)，数据补全如下表：函数解析式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由(1)知f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，则g(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2θ－\f(π,6))).因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋2θ－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))成中心对称，所以令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ＝eq \f(5π,12)，k∈Z，解得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值eq \f(π,6).ωx＋φ0eq \f(π,2)πeq \f(3π,2)2πxeq \f(π,3)eq \f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50易错原因纠错心得由函数y＝Asin ωx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，平移的长度单位不是|φ|而是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，这是出错的原因.在函数图象的左右平移中，平移的单位长度是相对而言的，在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，ωx＋φ＝ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω))).x－eq \f(π,3)eq \f(2π,3)eq \f(5π,3)eq \f(8π,3)eq \f(11π,3)t0eq \f(π,2)πeq \f(3π,2)2πy020－20ωx＋φ0eq \f(π,2)πeq \f(3π,2)2πxeq \f(π,12)eq \f(π,3)eq \f(7π,12)eq \f(5π,6)eq \f(13,12)πAsin(ωx＋φ)050－50