新教材2023版高中数学第一章三角函数3蝗制学案北师大版必修第二册

这是一份新教材2023版高中数学第一章三角函数3蝗制学案北师大版必修第二册，共7页。

§3　弧度制最新课标了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.1　弧度概念3．2　弧度与角度的换算[教材要点]要点一　度量角的两种制度eq \x(状元随笔)　正确理解弧度与角度的概念要点二　弧度数的计算1．正角：正角的弧度数是一个________．2．负角：负角的弧度数是一个________．3．零角：零角的弧度数是____．4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝______.要点三　角度制与弧度制的换算eq \x(状元随笔)　角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．要点四　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则1．弧长公式：l＝________.2．扇形面积公式：S＝________＝________.[教材答疑]如图：对于任意一个负数a，它对应x轴负半轴上的点A，把线段OA按顺时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过顺时针旋转以MA′为终边的圆心角β，该角的弧度数为负数b.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)(2)用弧度来表示的角都是正角．(　　)(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm.(　　)2．下列各种说法中，错误的是(　　)A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关3．将864°化为弧度为(　　)A.eq \f(36π,5)　　　　　　　　B.eq \f(12π,5)C.eq \f(24π,5) D.eq \f(48,25)π4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________.题型一　角度与弧度的换算——自主完成1．把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是(　　)A．－6π－eq \f(π,4) B．－6π＋eq \f(7π,4)C．－8π－eq \f(π,4) D．－8π＋eq \f(7π,4)2．把－eq \f(π,5)化成角度是(　　)A．18° B．－18°C．36° D．－36°3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是(　　)A.eq \f(π,5) B.eq \f(π,6)C．－eq \f(π,3) D．－eq \f(π,6)方法归纳进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180)rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π)))°；n°＝n·eq \f(π,180).提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．题型二　用弧度制表示角的集合——师生共研例1　已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．eq \x(状元随笔)　(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．跟踪训练1　(1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　)A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z))))C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))(2)用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．题型三　弧长公式和扇形面积公式的应用——师生共研例2　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？eq \x(状元随笔)　在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．变式探究　将本例(2)中的条件改为“扇形的面积为4 cm2，当扇形周长最小时”，求扇形圆心角的弧度数．方法归纳弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0,2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．跟踪训练2　(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是(　　)A．1 B．2C．3 D．4(2)已知扇形的圆心角为120°，半径为eq \r(3) cm，则此扇形的面积为________ cm2.易错辨析　忽略角度度量单位的一致性致误例3　[多选题]下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)解析：与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(π,4)或45°＋k·360°，k∈Z，则C、D正确．答案：CD易错警示§3　弧度制3．1　弧度概念　3.2　弧度与角度的换算新知初探·课前预习要点一度　eq \f(1,360)　弧度　半径长　rad要点二正数　负数　0　eq \f(l,r)要点三2π rad　360°　π rad　180°　eq \f(π,180) rad　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°要点四α·R　eq \f(1,2)lR　eq \f(1,2)α·R2[基础自测]1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.答案：D3．解析：864°＝864×eq \f(π,180)＝eq \f(24π,5)，故选C.答案：C4．解析：∵216°＝216×eq \f(π,180)＝eq \f(6π,5)，l＝α·r＝eq \f(6π,5)r＝30π，∴r＝25.答案：25题型探究·课堂解透题型一1．解析：－1 125°＝－3×2π－eq \f(π,4)＝－4×2π＋eq \f(7π,4)＝－8π＋eq \f(7π,4).答案：D2．解析：－eq \f(π,5)＝－eq \f(π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－36°.答案：D3．解析：由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转eq \f(π,6)弧度．答案：B题型二例1　解析：(1)∵2 005°＝2 005×eq \f(π,180) rad＝eq \f(401π,36) rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(41π,36)))rad，又π<eq \f(41π,36)<eq \f(3π,2)，∴角α与eq \f(41π,36)终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋eq \f(41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq \f(41π,36)<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－eq \f(31π,36)，－eq \f(103π,36)，－eq \f(175π,36).跟踪训练1　解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：eq \f(3π,4)，eq \f(7π,4).因此终边在直线y＝－x上的角的集合S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋kπ，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).(2)对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq \f(3π,4)，60°角的终边即eq \f(π,3)的终边，∴所求集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)<α<2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).对于题图(2)，同理可得，所求集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1())αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)<α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1())2kπ＋π＋\f(π,6)<α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).答案：(1)D　(2)见解析题型三例2　解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(l＋2r＝10，①,\f(1,2)lr＝4，②))将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；当r＝4时，l＝2，此时θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)(rad)．∴θ＝eq \f(1,2) rad.(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.∴当r＝10时，扇形的面积最大．这个最大值为100 cm2，这时θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(40－2×10,10)＝2 rad.变式探究　解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr·r＝eq \f(1,2)αr2＝4，所以αr＝eq \f(8,r)，设扇形的周长为L，则L＝2r＋αr＝2r＋eq \f(8,r)，r∈(0，＋∞)，由L＝2r＋eq \f(8,r)≥2eq \r(2r·\f(8,r))＝8当2r＝eq \f(8,r)，即r＝2时，等号成立．所以当r＝2时，扇形的周长L取得最小值，此时扇形的圆心角α＝eq \f(8,r2)＝eq \f(8,4)＝2.跟踪训练2　解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(l＝αr＝6，,S＝\f(1,2)αr2＝6，))解得α＝3，即扇形的圆心角为3 rad.(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为R cm，面积为S cm2，因为120°＝120×eq \f(π,180) rad＝eq \f(2π,3)(rad)，所以l＝αR＝eq \f(2π,3)×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3)π,3)(cm)．所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3)π,3)×eq \r(3)＝π(cm2)．故填π.答案：(1)C　(2)π角度制定义用____作为单位来度量角的单位制1度的角周角的____为1度的角，记作1°弧度制定义以____为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 ________区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位联系(1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化角度化弧度弧度化角度360°＝________2π rad＝________180°＝________π rad＝________1°＝________≈0.017 45 rad1 rad＝________≈57.30°度数×eq \f(π,180)＝弧度数弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数易错原因纠错心得选项A、B中角度的表示同时用到了角度制和弧度制，这不符合要求．错选ABCD.在一个题中，角度制和弧度制只能选一种，不能两种同时使用，这一点一定要注意规范.