第一章 三角函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第二册）

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第一章  三角函数（B卷·能力提升练）

（时间：120 分钟，满分：150 分）

一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1．的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由诱导公式一即可值

【解析】

故选：D

2．已知角的终边经过点，则(    )

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据角的终边经过点，求得，根据同角的三角函数关系化简，代入求值，可得答案.

【解析】由角的终边经过点，则，

故，

故选:C.

3．(2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知角的终边上一点的坐标为，则角的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据任意角的三角函数即可求解.

【解析】由已知可得：角的终边上一点的坐标为，位于第二象限，

它到原点的距离为，，

则由任意角的三角函数的定义可知：即，

故选：.

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】利用三角函数诱导公式将化为，根据三角函数图象的平移变换即可得答案.

【解析】因为，

所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，

故选：B．

5．函数的图像大致如下(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先通过奇偶性排除C、D选项，再计算的值判断A、B选项即可.

【解析】因为，

所以为奇函数，

由奇函数的图像性质可知C、D选项不正确；

因为，

所以B选项不正确.

故选：A.

6．设，则(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用给定条件，求出，再结合平方关系，利用齐次式法计算作答.

【解析】因，则，解得，

所以.

故选：B

7．设，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．

【解析】sin＝cos(﹣)＝cos(﹣)＝cos，

而函数y＝cosx在(0，π)上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，

即0＜b＜a＜1，tan＞tan＝1，即b＜a＜c，

故选D．

8．关于函数有如下四个命题：

①该函数在上单调递增；

②该函数图像向左平移个单位长度得到一个偶函数；

③该函数图像的一条对称轴方程为；

④该函数图像的一个对称中心为.

如果只有一个假命题，则该命题是(    )

A．① B．② C．③ D．④

【答案】D

【分析】假设各命题为真求出对应取值，判断四个命题是否能取到相同值，即可得答案.

【解析】①，而且上递增，

所以，则，；

②为偶函数，则，，即，；

③令，，即，；

④令，，即，；

综上，①②③的取值可能相同，而④的取值与①②③取不到相同值，

故只有一个假命题，即为④.

故选：D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是(    )

A．

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象关于直线对称

【答案】ABC

【解析】利用正弦函数的周期性以及图像的对称性，求出函数的解析式，再根据函数的图像变化规律、正弦函数的图像的对称性，得出结论.

【解析】函数的最小正周期为，

，故，

将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图像，

根据得到的图象对应的函数为偶函数，可得，，

故，

对于A，，故A正确；

对于B，当 时，则，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误；

故选：ABC

【点睛】本题考查了三角函数的平移变换以及三角函数的性质，解题的关键是求出函数的解析式，属于基础题.

10．已知函数，则

A．的值域为

B．的单调递增区间为

C．当且仅当时，

D．的最小正周期时

【答案】AD

【分析】根据三角函数的性质可得当时，，当时，，结合图象逐一判断即可.

【解析】当，即时，；

当，即时，.

综上，的值域为，故A正确；

的单调递增区间是和，B错误；当时，，故C错误；

结合的图象可知的最小正周期是，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，得出函数的解析式是解题的关键，属于中档题.

11．关于函数有下述四个结论中正确的是(          )

A．是偶函数 B．在区间上递减

C．为周期函数 D．的值域为

【答案】AC

【解析】根据奇偶性的定义判断出为偶函数，正确；通过时解析式，可知不满足单调递减定义，错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知正确；根据余弦函数值域可确定值域，知错误.

【解析】

为偶函数，正确；

当时，，不满足单调递减定义，错误；

当，时，；

当，时，

是以为最小正周期的周期函数，正确；

当，时，，故值域为，错误.

故选：

【点睛】本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质.

12．已知函数的部分图象如图所示，则(    )

A．在内有4个最值点

B．函数在仅有1个零点

C．的图象关于直线对称

D．将的图象向右平移个单位，可得的图象

【答案】AD

【分析】利用三角函数得图象与性质以及整体代换进行求解判断.

【解析】因为，由图可知：

，，又，解得，

所以，又图象过点，

所以，解得，又，

所以，所以，

对于A，由有：，

解得，当，解得，故A正确；

对于B，由有：，，

解得，故B错误；

对于C，当时，，不是对称轴，故C错误；

对于D，，向右平移个单位得：

，故D正确.

故选：AD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．化简：______．

【答案】

【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可.

【解析】

故答案为：.

14．函数的最小值为________.

【答案】

【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.

【解析】，，

，

所以函数的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.

15．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为______.

【答案】

【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.

【解析】过作于，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，

扇形BAC的面积，

莱洛三角形的面积为：，

故答案为：.

16．已知函数，则下列结论中正确的有________

①的最小正周期为

②点是图象的一个对称中心

③的值域为

④不等式的解集为

【答案】③④

【解析】，作出的图象，如图，观察图象，

的最小正周期为，①错误；

的图象没有对称中心，②错误；

的值域为，③正确；

不等式，即时，得，解得，

所以的解集为，④正确.

故选：③④

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17．已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据角的终边上点的坐标得到，，然后计算即可；

(2)利用诱导公式化简原式得到，然后根据角的终边上点的坐标求即可.

【解析】(1)因为角的终边上有点，

所以，

，

所以.

(2)

.

18．求下列函数的定义域：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题可得，即，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；(2)由题可得即，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案.

【解析】(1)∵，∴，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得.

①

(2)∵∴，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得.

②

【点睛】本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.

19．已知函数的图像如图所示.

(1)求的值；

(2)若，求的值域.

【答案】(1)，，；

(2)

【分析】(1)先利用图像得到最大值和周期，利用周期公式得到，代点，求出值；

(2)利用三角函数的图像得到函数的值域.

【解析】(1)由图可得

，所以，

∴，将代入解析式，

，，则，

，.

(2)由(1) ，因为，所以，

，

所以的值域为.

20．已知函数的部分图象如图．

(1)求的解析式及单调减区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)，减区间为

(2)函数在上的最大值为2，最小值为

【分析】(1)利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；

(2)由(1)得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值.

【解析】(1)解：由图可知，且，

所以，

所以，

将点代入解析式可得，得

即，又，所以

则

所以的单调减区间满足

解得：

则的单调减区间为：

(2)解：由(1)得：

因为，所以

故当时，；当时，

所以函数在上的最大值为2，最小值为.

21．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12(可视为点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；

(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】(1)设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；

(2)由(1)中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；

(3)依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；

【解析】(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为

则，

∴，

依题意，∴，

当时，∴，∴．

(2)令，即，

∴，∵，∴，

∴或，解得或，

∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．

(3)依题意，

∴

令，解得，所以当时，H取得最大值 

22．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标)到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)结合图象和，求得ω的值，再根据求得，即可得的解析式；(2)根据函数图象的变换求出的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解.

【解析】(1)由图可得：，即，则，

故，

∵，即，则，

∴，则，

又∵，则，

故.

(2)根据题意：将函数的图象向左平移个单位，得到，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数，

∵，则，

由题意可得：直线与函数有两个不同的交点，

又∵，则，

∴，当且仅当，即时，，

故，

则可得：，即，

故的取值范围为.