第二章 再练一课(范围：§1～§5)学案

再练一课(范围：§1～§5)

一、单项选择题

1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的改变量Δy等于(　　)

A.  B．－  C．1  D．－1

答案　B

解析　Δy＝－(2＋1)＝－.

2．已知物体的运动方程为s＝t2＋，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵s′＝2t－，∴物体在t＝2时的瞬时速度为4－＝.

3．设f(x)在点x0处可导，a为常数，

则等于(　　)

A．f′(x0)   B．2af′(x0)

C．af′(x0)   D．0

答案　B

解析　

＝2a

＝2af′(x0)．

4．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1   B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3   D．y＝2x＋1

答案　B

解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，

f′(x)＝4x3－6x2，

所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，

切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.

5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(0，＋∞)   D．(－1,0)

答案　A

解析　因为f(x)＝x2－2x－4ln x，

所以f′(x)＝2x－2－＝>0，

又x>0，故2(x2－x－2)>0，

即2(x＋1)(x－2)>0，

结合x>0可得x>2.

6．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f＝f′，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　①f(x)＝x2，f′(x)＝2x，x2＝2x，x＝0，x＝2，有“巧值点”；②f(x)＝e－x，f′(x)＝

－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；③f(x)＝ln x，f′(x)＝，ln x＝，令g(x)＝ln x－，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，由零点存在定理，知在(1，e)上必有零点，f(x)有“巧值点”；④f(x)＝tan x，f′(x)＝，＝tan x，sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”．所以有“巧值点”的是①③，选B.

二、多项选择题

7．下列求导运算不正确的是(　　)

A．(sin x)′＝－cos x   B．(log2x)′＝

C.′＝   D．(e2x＋1)′＝2e2x＋1

答案　ABC

解析　选项A，(sin x)′＝cos x，故A错误；

选项B，(log2x)′＝，故B错误；

选项C，′＝，故C错误；

选项D，(e2x＋1)′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，故D正确．

8．已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值为(　　)

A.  B．3  C.  D.

答案　AC

解析　∵f(x)＝x3－x2＋ax－1，

∴f′(x)＝2x2－2x＋a，

设切点的横坐标为m，且m>0，

可得切线斜率k＝2m2－2m＋a＝3，

即2m2－2m＋a－3＝0，

由题意，可得关于m的方程2m2－2m＋a－3＝0有两个不相等的正根，且可知m1＋m2＝1>0，

则即

解得3<a<，∴a的取值可能为，.

三、填空题

9．已知函数f(x)＝3x，则函数在区间[1,3]上的平均变化率为________．

答案　12

解析　由定义可知，平均变化率为＝＝12.

10．曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与过点(2,3)的直线l垂直，则直线l的方程为________________．

答案　x＋2y－8＝0

解析　由题意知y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′

＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x

＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，

所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.

所以直线l的斜率为－，

直线l的方程为y－3＝－·(x－2)，

即x＋2y－8＝0.

11．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．

答案　ln 2

解析　由题意可得，f′(x)＝ex－是奇函数，

∴f′(0)＝1－a＝0，

∴a＝1，∴f(x)＝ex＋，f′(x)＝ex－.

∵曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，

∴＝ex－，可得ex＝2(舍负)，∴x＝ln 2.

12．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”．已知函数f(x)＝ax＋sin x与g(x)＝cos x存在“局部平行性”，则a的取值范围为________．

答案　

解析　由题意得f′(x)＝a＋cos x，g′(x)＝－sin x，设y＝f(x)的切点为(x1，y1)，y＝g(x)的切点为(x2，y2)，则a＋cos x1＝－sin x2有解，

x2∈R，－sin x2∈[－1,1]；x1∈R，a＋cos x1∈[a－1，a＋1]，因此[－1,1]∩[a－1，a＋1]≠∅，

所以解得－2≤a≤2.

四、解答题

13．求下列函数的导数：

(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；

(3)y＝e2x＋1；(4)y＝；

(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.

解　(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12.

(2)y′＝·(6x＋4)′＝.

(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.

(4)y′＝·(2x－1)′＝.

(5)y′＝cos·′＝3cos.

(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.

14．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.

(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；

(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数．

解　x′＝－32e－2t.

(1)当t＝1时，x′＝－.

(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，

y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t.

15．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．

(1)求切线l的方程；

(2)求S(t)的解析式．

解　(1)∵y＝e－x，∴y′x＝(e－x)′＝－e－x，

当x＝t时，y′x＝－e－t.

故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，

即x＋ety－(t＋1)＝0.

(2)令y＝0，得x＝t＋1.

令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．

∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．