第25讲-等比数列及其前n项和（讲义版）学案

第25讲-等比数列及其前n项和 

一、                   考情分析

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；

2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；

3.体会等比数列与指数函数的关系.

二、                   知识梳理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

[微点提醒]

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

三、                   经典例题

考点一　等比数列基本量的运算

【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列的前项和满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，可得.

两式相减得，即.

∵，∴

∴是首项为6，公比为3的等比数列

从而.

【例1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为（    ）

A．64 B．22 C．-48 D．-6

【答案】C

【解析】等差数列的首项为，设公差（）．

若，，成等比数列，

所以，即， 解得，

所以的前8项和为．

【例1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由等比数列的性质得，所以，

所以，

则，故选：B.

规律方法　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

考点二　等比数列的判定与证明

【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列满足.

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明： .

【解析】（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（2）由（1）知：，所以，

因为当时，，所以，于是=，

所以.

【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，

所以，故，所以；

所以数列是公比为3的等比数列，

因为是的等差中项，所以，

所以，

解得；

数列的通项公式为；

（2）由（1）可知，

故数列是以1为首项，为公比的等比数列，

，

因为恒成立，

所以，

即实数的取值范围为.

规律方法　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.

考点三　等比数列的性质及应用

【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设公比为，因为，故，所以，故选：D.

【例3-2】（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（    ）

A．12 B． C．5 D．18

【答案】D

【解析】由题意，向量，，，

则，即，

根据等比中项的知识，可得，

∵，故，

∴

【例3-3】（2020·陕西省高三三模（理））若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（    ）

A．e B． C． D．

【答案】A

【解析】因为数列为等差数列，且，所以；

又为等比数列，且，所以，所以；

又，所以，

所以函数的最小正周期为4，

又，

所以 ，即.

【例3-1】（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，．

，

化为：，解得．

规律方法　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.

2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.

[方法技巧]

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.

(2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.

3.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.

4.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立.

四、                   课时作业

1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列的前项和为，首项，若，则(    )

A． B． C． D．

2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．1023 B．511 C． D．

3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比（    ）

A． B． C．1 D．

4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（   ）

A．人 B．人

C．人 D．人

5．（2020·全国高三（文））在等比数列中，，是方程的两根，则等于（    ）

A．1 B．-1 C． D．不能确定

6．（2020·全国高三（文））已知等比数列满足，，则数列前项的和(    )

A． B． C． D．

7．（2020·海南省海南中学高三月考）已知正项等比数列，满足，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列和等比数列满足，，则为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ）

A． B． C． 或  D． 或

10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1秤=10斤，1斤=10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（    ）

A．两 B．两 C．两 D．两

11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列满足，，则（  ）

A．-48 B．48 C．48或-6 D．-48或6

12．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列是等比数列，，，则（    ）

A． B．48 C．192 D．768

13．（2020·江西省新余一中高一月考）设等比数列的前n项和为，若，，则　　

A．144 B．81 C．45 D．63

14．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列中，，且、、成等差数列，则公比（    ）

A． B．或 C． D．或

15．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）

A．31 B．32 C．63 D．64

16．（2020·全国高三其他（文））等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

17．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）等比数列的前项和为，若，则公比（   ）

A． B． C． D．

18．（2020·全国高三其他（文））在等比数列中，，则的值是（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

19．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

20．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

21．（2020·全国高三其他（文））已知数列满足，等比数列满足，则的前6项和为

A． B． C．63 D．126

22．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

23．（2020·天津一中高三月考）已知是各项均为正的等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（    ）

A． B． C． D．

24．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则满足的最小的n值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

25．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（理））设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（    ）

A．63 B．64 C．127 D．128

26．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知为等比数列,,,则（ ）

A． B． C． D．

27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ）

A． B． C． D．

28．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

29．（多选题）（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路

30．（多选题）（2020·山东省高二期末）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设， 求数列的前项和.

33．（2020·全国高三其他（理））设数列的前项和为，已知，.

（1）证明：为等比数列；

（2）记，数列的前项和为.若，求的取值范围.

34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

35．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前n项和满足，其中.

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.