2020-2021学年3.2 简单的三角恒等变换测试题

这是一份2020-2021学年3.2 简单的三角恒等变换测试题，共13页。试卷主要包含了1～3，已知tan θ=2,等内容，欢迎下载使用。

五年高考练
考点1 三角恒等变换
1.(2021新高考Ⅰ,6,5分,)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A.-65 B.-25
C.25 D.65
2.(2021全国甲理,9,5分,)若α∈0,π2,tan 2α=csα2−sinα,则tan α=( )
A.1515 B.55
C.53 D.153
3.(2020全国Ⅰ理,9,5分,)已知α∈(0,π),且3cs 2α-8cs α=5,
则sin α=( )
A.53 B.23
C.13 D.59
4.(2020江苏,8,5分,)已知sin2π4+α=23,则sin 2α的值是 .
5.(2020浙江,13,6分,)已知tan θ=2,
则cs 2θ= ,tanθ-π4= .
考点2 三角恒等变换的综合应用
6.(2019课标全国Ⅲ,5,5分,)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2018课标全国Ⅲ,6,5分,)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为( )
A.π4 B.π2
C.π D.2π
8.(2018课标全国Ⅰ,11,5分,)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cs 2α=23,则|a-b|=( )
A.15 B.55 C.255 D.1
9.(2020北京,14,5分,)若函数f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,则常数φ的一个取值为 .
10.(2019课标全国Ⅰ,15,5分,)函数f(x)=sin2x+3π2-3cs x的最小值为 .
11.(2019浙江,18,14分,)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
12.(2018北京,16,13分,)已知函数f(x)=sin2x+3sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为32,求m的最小值.
三年模拟练
应用实践
1.(2021北京三里屯一中高一期中,)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y=sin2x+π2 B.y=sin xcs x
C.y=sin 2x+cs 2x D.y=tan 2x
2.(2021河北张家口高一上期末,)函数f(x)=sin2x+3sin xcs x在区间π4,π2上的最大值是( )
A.32 B.1
C.1+32 D.1+3
3.(2021辽宁盘锦辽河油田第二高级中学高一期中,)若tan α=34,则cs2α+2sin 2α=( )
A.6425 B.4825 C.1 D.1625
4.(2021山东潍坊寿光现代中学高一期中,)已知函数f(x)=sin xcs x-cs2x,则下列说法中不正确的是( )
A.函数f(x)在区间0,π8上为增函数
B.直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)的图象可由函数y=22sin 2x的图象向右平移π8个单位长度得到
D.对任意x∈R,恒有f π4+x+f(-x)=-1
5.(2020天津六校高二期末联考,)已知cs2α2sinα+π4=12,
则tan α+1tanα= .
(2020云南师范大学附属中学高三上月考,)已知sin α+cs α-sin α·
cs α=0,则sin 2α= .
7.(2021安徽安庆一中高二期末,)若sin2α1−cs2α=13,tan(β-2α)=1,则tan(α-β)= .
8.(2020广东珠海高一上期末,)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是以原点为圆心,2为半径的圆上的两点,∠AOB=α为锐角,csα+π4=-513,则x1x2+y1y2= .
9.(2021内蒙古北方重工第三中学高一月考,)设sin 65°=m,sin 40°=n,则函数f(x)=m2x2+(n+1)x+1取得最小值时,x= .
10.(2021四川遂宁高一下期末,)已知函数f(x)的定义域为D,若对于任意a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f(x)为“三角形函数”.给出下列四个函数:
①f(x)=4-sin x;②f(x)=cs 2x+sin x+238;
③f(x)=3−sinx2+sinx;④f(x)=(1+sinx)(1+csx)sinx+csx,x∈0,π2.
其中为“三角形函数”的是 (填序号).
(2021广东广州培正中学高一期末,)已知向量a=(2sin θ,sin θ+
cs θ),b=(cs θ,-2-m),函数f(θ)=a·b的最小值为g(m)(m∈R).
(1)当m=1时,求g(m)的值;
(2)求g(m)的表达式;
(3)已知函数h(x)为定义在R上的增函数,且对任意的x1,x2都满足h(x1+x2)=h(x1)+h(x2).问是否存在实数m,使不等式h[f(θ)]-h4sinθ+csθ+h(3+2m)>0对所有θ∈0,π2恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.C sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ
=sinθ(sin2θ+cs2θ+2sinθ·csθ)sinθ+csθ
=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sin θ(sin θ+cs θ)
=sin2θ+sin θ·cs θ=sin2θ+sinθ·csθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=(-2)2-2(-2)2+1=25.故选C.
2.A ∵tan 2α=csα2−sinα,且α∈0,π2,
∴sin2αcs2α=csα2−sinα,
∴2sin 2α=cs αcs 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcs α=cs(2α-α)=cs α,
又cs α≠0,
∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cs α=154,
∴tan α=1515.故选A.
A 由3cs 2α-8cs α=5,得3cs2α-4cs α-4=0,所以cs α=-23或
cs α=2(舍去),因为α∈(0,π),所以sin α=53,故选A.
4.答案 13
解析 ∵sin2π4+α=1−csπ2+2α2=1+sin2α2=23,∴sin 2α=13.
5.答案 -35;13
解析 因为tan θ=2,所以cs 2θ=cs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−41+4=-35,
tanθ-π4=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=2−11+2=13.
6.B 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin x·cs x=2sin x·(1-cs x)=0得sin x=0或cs x=1,∴x=kπ,k∈Z.又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B.
7.C 解法一: f(x)的定义域为x|x≠kπ+π2,k∈Z.
f(x)=sinxcsx1+sinxcsx2=sin x·cs x=12sin 2x,
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.
解法二: f(x+π)=tan(x+π)1+tan2(x+π)=tanx1+tan2x=f(x),∴π是f(x)的周期.
fx+π2=tanx+π21+tan2x+π2,
而tanx+π2=sinx+π2csx+π2=csx-sinx=-1tanx,
∴fx+π2=-tanx1+tan2x≠f(x),
∴π2不是f(x)的周期,∴π4也不是f(x)的周期.故选C.
8.B 由题可知tan α=b-a2−1=b-a,又cs 2α=cs2α-sin2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−(b-a)21+(b-a)2=23,
∴5(b-a)2=1,得(b-a)2=15,即|b-a|=|a-b|=55,故选B.
9.答案 π2
解析 ∵f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,∴cs x=1,解得x=2kπ,k∈Z,且sin(x+φ)=sin(2kπ+φ)=sin φ=1,
∴φ=π2+2nπ,n∈Z,∴可取φ=π2.(本题答案不唯一)
10.答案 -4
解析 f(x)=sin2x+3π2-3cs x
=-cs 2x-3cs x=-2cs2x-3cs x+1.
令cs x=t,则t∈[-1,1].
f(t)=-2t2-3t+1=-2t+342+178,
易知当t=1时,f(t)取得最小值,即f(t)min=-2×12-3×1+1=-4.
故f(x)的最小值为-4.
11.解析 (1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcs θ+cs xsin θ=-sin xcs θ+cs xsin θ,
故2sin xcs θ=0,所以cs θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或θ=3π2.
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1−cs2x+π62+1−cs2x+π22
=1-1232cs2x-32sin2x
=1-32cs2x+π3.
因此函数的值域是1−32,1+32.
12.解析 (1)f(x)=12-12cs 2x+32sin 2x
=sin2x-π6+12.
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+12.
因为-π3≤x≤m,
所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.
要使得f(x)在-π3,m上的最大值为32,则sin2x-π6在-π3,m上的最大值为1.
所以2m-π6≥π2,即m≥π3.
所以m的最小值为π3.
三年模拟练
1.B A中,y=sin2x+π2=cs 2x是偶函数,故A错误;
B中,y=sin xcs x=12sin 2x是奇函数,且最小正周期为2π2=π,故B正确;
C中,y=sin 2x+cs 2x=2sin2x+π4既不是奇函数,也不是偶函数,故C错误;
D中,y=tan 2x是奇函数,但最小正周期为π2,故D错误.故选B.
2.A f(x)=sin2x+3sin xcs x=1−cs2x2+32sin 2x=12+sin2x-π6.
∵π4≤x≤π2,∴π3≤2x-π6≤5π6,
∴f(x)max=12+1=32.故选A.
3.A 由tan α=34,得sin α=35,cs α=45或sin α=-35,cs α=-45,
所以sin αcs α=1225,所以cs2α+2sin 2α=1625+4×1225=6425,故选A.
4.C 易得f(x)=12sin 2x-1+cs2x2
=22sin2x-π4-12.
当x∈0,π8时,2x-π4∈-π4,0,函数f(x)为增函数,故A中说法正确;
令2x-π4=π2+kπ,k∈Z,得x=3π8+kπ2,k∈Z,显然直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴,故B中说法正确;
将函数y=22sin 2x的图象向右平移π8个单位长度得到的是函数y=22sin2x-π8=22sin2x-π4的图象,不是f(x)的图象,故C中说法错误;
f π4+x+f(-x)=22sin2x+π4-12+22sin-2x-π4-12=22sin2x+π4-22sin2x+π4-1=-1,故D中说法正确.故选C.
5.答案 83
解析 由cs2α2sinα+π4=cs2α-sin2αsinα+csα=12,可得cs α-sin α=12,两边分别平方,并整理得1-2sin αcs α=14,
∴sin αcs α=38,
∴tan α+1tanα=1sinαcsα=83.
6.答案 2-22
解析 由题意得sin α+cs α=sin αcs α,两边同时平方并整理得1+
2sin αcs α=(sin αcs α)2,
即sin22α-4sin 2α-4=0,解得sin 2α=2-22或sin 2α=2+22,又2+22>1,故舍去,所以sin 2α=2-22.
7.答案 2
解析 由sin2α1−cs2α=13,得2sinαcsα2sin2α=13,即tan α=3.
又tan(β-2α)=1,
∴tan(α-β)=tan[-α-(β-2α)]=-tan[α+(β-2α)]=-tanα+tan(β-2α)1−tanαtan(β-2α)=-3+11−3×1=2.
8.答案 14213
解析 ∵∠AOB=α为锐角,∴0<α<π2,
∴π4<α+π4<3π4.
∵csα+π4=-513,∴sinα+π4=1213,
∴cs α=csα+π4-π4
=22csα+π4+sinα+π4
=7226=OA·OB|OA||OB|=x1x2+y1y22×2,
∴x1x2+y1y2=14213.
9.答案 -1
解析 ∵m=sin 65°=sin(45°+20°)=sin 45°cs 20°+cs 45°sin 20°=22(sin 20°+cs 20°),
n=sin 40°=2sin 20°cs 20°,
∴n+1=2sin 20°cs 20°+sin220°+cs220°=(sin 20°+cs 20°)2,m2=n+12,
∴f(x)=m2x2+(n+1)x+1=m2x2+2m2x+1=m2(x2+2x+1)-m2+1=m2(x+1)2+1-m2,
∵m≠0,∴当x=-1时,f(x)取得最小值.
10.答案 ①④
解析 对于①,f(x)=4-sin x∈[3,5],对于任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)∈[3,5],所以f(a),f(b),f(c)可以分别为某个三角形的三边长,故①是“三角形函数”;
对于②,f(x)=cs 2x+sin x+238=1-2sin2x+sin x+238=-2sinx-142+3∈[1,5],当f(a)=1,f(b)=2,f(c)=4时,不满足三角形的三边关系,故②不是“三角形函数”;
对于③,f(x)=3−sinx2+sinx=52+sinx-1∈23,4,当f(a)=1,f(b)=2,f(c)=4时,不满足三角形的三边关系,故③不是“三角形函数”;
对于④,f(x)=(1+sinx)(1+csx)sinx+csx=1+sinx+csx+sinxcsxsinx+csx=1+1+sinxcsxsinx+csx,
令sin x+cs x=t,y=1+t2+12t=1+t2+12t,由x∈0,π2可知t∈(1,2],则y∈(1,2],所以对任意a,b,c∈0,π2,f(a),f(b),f(c)可以分别为某个三角形的三边长,故④是“三角形函数”.故答案是①④.
11.解析 (1)f(θ)=a·b=2sin θcs θ-(2+m)·(sin θ+cs θ)=sin 2θ-(2+m)(sin θ+cs θ),令t=sin θ+cs θ,则t∈[-2,2],sin 2θ=t2-1,
当m=1时,g(m)=g(1)=(t2-3t-1)min=1-32.
(2)令F(t)=t2-(m+2)t-1,
则F(t)图象的对称轴为直线t=m2+1.
①当m2+1≤-2,即m≤-22-2时,F(t)在[-2,2]上单调递增,所以F(t)min=
F(-2)=2(m+2)+1.
②当-2③当m2+1≥2,即m≥22-2时,F(t)在[-2,2]上单调递减,所以F(t)min=F(2)=1-2(m+2).
则g(m)=2(m+2)+1,m≤−22-2,-m2+4m+84,-22-2(3)存在.易得h(x)为R上的奇函数,要使不等式h[f(θ)]-h4sinθ+csθ+h(3+2m)>0对所有θ∈0,π2恒成立,只需使不等式hsin2θ-(2+m)(sinθ+csθ)-4sinθ+csθ+h(3+2m)>0对所有θ∈0,π2恒成立,即使hsin2θ-(2+m)·(sinθ+csθ)-4sinθ+csθ>-h(3+2m)=h(-3-2m)对所有θ∈0,π2恒成立,
因为h(x)为定义在R上的增函数,所以sin 2θ-(2+m)(sin θ+cs θ)-4sinθ+csθ>-3-2m,
令n=sin θ+cs θ,则sin 2θ=n2-1,
因为θ∈0,π2,
所以n=2sinθ+π4∈[1,2],
所以原问题等价于n2-1-(m+2)n-4n+3+2m>0对任意n∈[1,2]恒成立,
即(2-n)m>2n-n2+4n-2对任意n∈[1,2]恒成立,即m>n(2-n)+2n(2-n)2−n=n+2n对任意n∈[1,2]恒成立.易得φ(n)=n+2n在n∈[1,2]上单调递减,则φ(n)max=φ(1)=3,所以m>3,即m的取值范围为(3,+∞).