高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀教案

3.2　函数的基本性质

3.2.1　函数的单调性与最值

第一课时　函数的单调性

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了有趣的数据．数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如图：

[问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？

(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学的观点进行解释？

三、合作探究

知识点　函数的单调性

1．增函数、减函数

2．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．

1．对区间I的要求

函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．

2．x1，x2的三个特征

(1)同区间性，即x1，x2∈I；

(2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；

(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2.　　　　

四、精讲点拨

题型一  函数单调性的判定与证明

[例1]　(链接教科书第80页例1)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明．

题型二  求函数的单调区间

[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[母题探究]

(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”变为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？

题型三  函数单调性的应用

[例3]　(链接教科书第81页例3)(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________；

(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

[母题探究]

1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．

2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．

题型四  复合函数y＝f(g(x))的单调性

[典例]　已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．

(1)判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；

(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．

[结论]　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性简记为“同增异减”.

五、达标检测

1.如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1　　　　　B．2    C．3  D．4

2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)

A．f(3)<f(5)     B．f(3)≤f(5)    C．f(3)>f(5)  D．f(3)≥f(5)

3．(多选)下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　)

A．f(x)＝x2－2x   B．f(x)＝－x2  C．f(x)＝x＋1  D．f(x)＝

4．已知函数f(x)＝.

(1)求f(f(3))的值；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．

六、课堂小结

   1.函数单调性的定义;

   2.函数单调性的判定与证明.

课后作业

教后反思

第二课时　函数的最大(小)值

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．

[问题]　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？

(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？

(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？

三、合作探究

知识点　函数的最大值与最小值

前提条件：设D是函数f(x)的定义域．

(1)最大值：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．

(2)最小值：如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值m＝f(b)，称m为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．

最大值和最小值统称为最值．

对函数最大值(最小值)定义的再理解

(1)M(m)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；

(2)最大(小)值定义中的“对一切x∈D成立”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立．

四、精讲点拨

题型一  图象法求函数的最值

[例1]　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．

题型二  单调性法求最值

[例2]　(链接教科书第80页例2)已知函数f(x)＝.

(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．

题型三  利用函数的最值解决恒成立问题

[例3]　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

五、达标检测

1．二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．1

C．－2  D．－

2．若函数f(x)＝在区间[1，a]上的最小值为，则a＝________．

3．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．

六、课堂小结

1.函数最值的概念；

2.求函数最值的方法；

3.利用函数的最值解决恒成立问题.

课后作业

教后反思