湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用测试题

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考点1 函数的零点与方程的根
1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分,)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)D.[1,+∞)
2.(2020天津,9,5分,)已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是( )
A.-∞,-12∪(22,+∞)
B.-∞,-12∪(0,22)
C.(-∞,0)∪(0,22)
D.(-∞,0)∪(22,+∞)
3.(2018浙江,15,6分,)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
考点2 函数在实际问题中的应用
4.(2020新高考Ⅰ,6,5分,)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
5.(2019课标全国Ⅱ,4,5分,)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:
M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.
设α=rR.由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为( )
A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R
6.(2018上海,19,14分,)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
三年模拟练
1.(多选)(2021江苏盐城阜宁高一期末,)下列说法正确的是( )
A.已知方程ex=8-x的解在(k,k+1)(k∈Z)内,则k=1
B.函数f(x)=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0)
C.函数y=3x,y=lg3x的图象关于直线y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内的近似解的过程中,得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)内
2.()新冠疫情防控常态化,核酸检测应检尽检!核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为(参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)( )
3.(2020湖北荆门高一上期末,)已知函数f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.3,134B.(2,3)
C.43,4D.1,54
4.(2020江苏连云港高级中学高一月考,)已知函数f(x)=lg4x+x-3(x>0),x-14x+3(x≤0),若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1-x2|=( )
A.3-ln 2 B.3ln 2
C.22 D.3
5.(2020北京高考适应性测试,)已知函数f(x)的定义域为[-1,1),其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的奇函数,满足g(2-x)+g(x)=0,且当x∈(0,1)时,g(x)=f(x),给出下列三个结论:
①g(0)=0;
②函数g(x)在(-1,5)内有且仅有3个零点;
③不等式f(-x)<0的解集为{x|-1其中正确结论的序号是 .
6.()已知二次函数y=f(x)的图象经过原点,对称轴为直线x=1,方程f(x)+1=0有两个相等实根.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈12,8,2f(lg2x)+m≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(3x)+13x与h(x)=a·3x-43a-2的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
7.()为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律,某旅游风景区以“绿水青山”为主题,特别制作了旅游纪念章,决定近期投放市场,根据市场调研情况,预计每枚该纪念章的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下表:
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=algbx(b>0,b≠1),④y=ax+b;
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价;
(3)利用你选取的函数,若存在x∈(10,+∞),使得不等式 f(x)x-10-k≤0成立,求实数k的取值范围.
答案全解全析
五年高考练
1.C g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,
当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.
2.D 令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点.
当k=-12时,h(x)=-12x2-2x=12x2+2x,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图.
由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;
当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示.
此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D.
3.答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析 当λ=2时,不等式f(x)<0等价于x≥2,x-4<0或x<2,x2-4x+3<0,
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1,4).
易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,此时λ>4.②两个零点为1,4,此时1<λ≤3.
综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
4.B 因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=R0-1T=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=ln20.38≈≈1.8.故选B.
5.D 将r=α·R代入方程可得M1(R+αR)2+M2α2R2=(1+α)M1R2,
即M1(1+α)2+M2α2=(1+α)M1,
∴α2(α3+3α2+3α)(1+α)2=M2M1,
即M2M1=α5+3α4+3α3(1+α)2,∴M2M1≈3α3,
∴α≈3M23M1,∴r=R·α≈3M23M1R.
故选D.
6.解析 (1)由题意知,当3040,即x2-65x+900>0,解得x<20(舍去)或x>45,∴45∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30∴g(x)=40-x10,0当0当32.5说明该地上班族S有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.
三年模拟练
1.ACD 对于选项A,令f(x)=ex+x-8,易知f(x)在R上是增函数,且其图象是连续不间断的,f(1)=e-7<0,f(2)=e2-6>0,所以方程ex=8-x的解在(1,2)内,所以k=1,故A正确;
对于选项B,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故函数f(x)的零点为-1和3,故B错误;
对于选项C,函数y=3x与函数y=lg3x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,故C正确;
对于选项D,由于f(1.25)·f(1.5)<0,f(1)·f(1.25)>0,所以由函数零点存在定理可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故D正确.故选ACD.
2.C 因为lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,所以lgXnX0=nlg(1+p).
由题意得,当n=5时,XnX0=10,所以lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)=15,所以1+p=1015=100.2,所以p=100.2-1≈1.585-1=0.585.故选C.
3.A 令t=f(x),由[f(x)]2-3f(x)+a-1=0,得t2-3t+a-1=0.设关于t的方程t2-3t+a-1=0的两根分别为t1,t2(t1如图所示:
因为关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,
所以1设g(t)=t2-3t+a-1,
则Δ=9-4(a-1)=13-4a>0,g(1)=a-3>0,g(2)=a-3>0,
解得3所以实数a的取值范围是3,134.故选A.
4.D 在同一平面直角坐标系中作出y=14x,y=4x, y=x+3,y=3-x,y=lg4x的图象,如图所示.
设x2≤0,x1>0,函数y=4x与函数y=3-x的图象的交点的横坐标为x3.由于y=4x与y=lg4x互为反函数,所以根据反函数的对称性可知x1+x3=2×32=3.易知函数y=14x与函数y=x+3图象的交点和函数y=4x与函数y=3-x图象的交点关于y轴对称,所以-x2=x3,所以x1-x2=3,即|x1-x2|=3.故选D.
5.答案 ①③
解析 ∵g(x)是定义域为R上的奇函数,
∴g(0)=-g(0),即g(0)=0,故①正确;
由g(2-x)+g(x)=0,得g(2-x)=-g(x),
∵g(x)为奇函数,
∴g(2-x)=-g(x)=g(-x),
∴g[2-(-x)]=g[-(-x)],
即g(2+x)=g(x),
∴g[2+(-1)]=g(-1)=-g(1),
∴g(1)=0,
又当x∈(0,1)时,g(x)=f(x),
∴g(x)在(-1,5)内的大致图象如图所示.
∴g(0)=g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0,
即g(x)在(-1,5)内有5个零点,故②错误;
由f(x)的图象可知, f(-x)<0时,0<-x<1,
即-16.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵y=f(x)的图象经过原点,∴f(0)=c=0.
∵f(x)图象的对称轴为直线x=1,
∴-b2a=1①.
∵f(x)+1=ax2+bx+1=0有两个相等实根,
∴Δ=b2-4a=0②.
由①②可得a=1,b=-2.∴f(x)=x2-2x.
(2)由题可得2[(lg2x)2-2lg2x]+m≥0对任意x∈12,8恒成立.
令t=lg2x,则t∈[-1,3],m≥-2t2+4t对任意t∈[-1,3]恒成立.
易知当t=1时,y=-2t2+4t取得最大值2,所以m≥2,即实数m的取值范围为[2,+∞).
(3)∵g(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,
∴(3x)2-2·3x+13x=a·3x-43a-2只有一个实数根,即(a-1)·(3x)2-43a·3x-1=0只有一个实数根.
令n=3x,则n>0,(a-1)n2-43an-1=0只有一个正实数根.
若a=1,则n=-34,不符合题意,舍去;
若a≠1,则方程的两个根异号或方程有两个相等正实数根,
∴-1a-1<0或Δ=-43a2+4(a-1)=0,43aa-1>0,-1a-1>0,
解得a>1或a=-3.
综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).
7.解析 (1)由题表知,随着时间x的增大,y的值先减小后增大,而所给的函数y=ax+b,y=algbx(b>0,b≠1)和y=ax+b显然都是单调函数,不满足题意,故选择y=ax2+bx+c.
(2)把点(2,102),(6,78),(20,120)代入y=ax2+bx+c中,得4a+2b+c=102,36a+6b+c=78,400a+20b+c=120,
解得a=12,b=-10,c=120,
∴y=12x2-10x+120=12(x-10)2+70.
∴当x=10时,y有最小值,且ymin=70.
故当纪念章上市10天时,市场价最低,最低市场价为70元.
(3)令g(x)=f(x)x-10=12(x-10)+70x-10.
若存在x∈(10,+∞),使得不等式g(x)-k≤0成立,则k≥g(x)min.
易得函数g(x)在(10,10+235)上单调递减,在(10+235,+∞)上单调递增,
∴当x=10+235时,g(x)取得最小值,且最小值为g(10+235)=235.
∴k≥235.上市时间x(天)
2
6
20
市场价y(元)
102
78
120