2021年北京朝阳区中央商务区实验学校(中学部)八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区中央商务区实验学校(中学部)八年级上期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 分式 1x−1 有意义，则 x 的取值范围是
A. x>1B. x≠1C. x<1D. 一切实数

2. 若 x−1x+3=x2+mx+n ，那么 m ， n 的值分别是
A. m=1,n=3B. m=4,n=5C. m=2,n=−3D. m=−2,n=3

3. 分式 x+a3x−1 中，当 x=−a 时，下列结论正确的是
A. 分式的值为零B. 分式无意义
C. 当 a≠−13 时，分式的值为零D. 当 a≠13 时，分式的值为零

4. x2+px+8x2−3x+q 乘积中不含 x2 项和 x3 项，则 p，q 的值
A. p=0,q=0B. p=3,q=1
C. p=−3,q=−9D. p=−3,q=1

5. 要使分式 x2−5x+4x−4 的值为 0，则 x 应该等于
A. 4 或 1B. 4C. 1D. −4 或 −1

6. 下列运算错误的是
A. a−b2b−a2=1B. −a−ba+b=−1
C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD. a−ba+b=b−ab+a

7. 如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是
A. ∠1+∠6>180∘B. ∠2+∠5<180∘C. ∠3+∠4<180∘D. ∠3+∠7>180∘

8. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形

9. 下列各式中，运算正确的是
A. a6÷a3=a2B. a32=a5
C. 2a−1=−2aD. a⋅a2+a3=2a3

10. 如图所示，在 3×3 的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中 A 、 B 为两格点，请在图中再寻找另一格点 C，使 △ABC 成为等腰三角形．则满足条件的 C 点的个数为
A. 10 个B. 8 个C. 6 个D. 4 个

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式 9a−a3= ．
2x2−12x+18= ．

12. 因式分解： a3−ab2 ．

13. 分式的概念
下列式子中属于分式的有 ，属于整式的有 ．
① −37；
② a2b；
③ 2a+13；
④ 12−a；
⑤ 2hπ；
⑥ 15x+y；
⑦ 2−xy．

14. 如图所示，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角 ∠1=74∘，那么吸管与易拉罐下部夹角 ∠2= ．

15. 当 a=12 时，代数式 2a2−2a−1−2 的值为 ．

16. 已知 ab=−1 ， a+b=2 ，则式子 ba+ab= ．

17. 已知 a≠0，S1=2a，S2=2S1，S3=2S2，⋯，S2010=2S2009，则 S2010= （用含 a 的代数式表示）．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E．若 AB=10 cm，则 △ADE 的周长为 cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 某同学化简 aa+2b−a+ba−b 出现了错误，解答过程如下：
原式=a2+2ab−a2−b2第一步=a2+2ab−a2−b2第二步=2ab−b2.第三步
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．

20. 先化简，再求值：3xx−2−xx+2÷xx2−4，在 −2，0，1，2 四个数中选一个合适的代入求值．

21. 已知：当 x=−7 时，多项式 ax5+bx3+cx−5=6，求：当 x=7 时，ax5+bx3+cx−5 的值．

22. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

23. 如图，在 △ABC 中，已知点 D，E，F 分别在边 BC，AC，AB 上，且 FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B，那么 ∠B 与 ∠C 的大小关系如何?为什么?
解：∠B=∠C．
因为 ∠FDC=∠B+∠DFB（ ），
即 ∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．
又因为 ∠FDE=∠B（已知），
所以 ∠ =∠ ．
在 △EDC 与 △DFB 中，
DE=DF已知,∠EDC=∠DFB,CD=BF已知,
所以 △EDC≌△DFB（ ），
因此 ∠B=∠C（ ）．

24. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

25. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到 ∠A 的两边的距离相等，且 PA=PB．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）

26. （1）已知：如图，OA=OB，OC=OD，AD 和 BC 相交于点 P．
证明：PA=PB．
（2）由（1）中的结论，你能想到不同于平时用尺规作角平分线的方法吗?试在图中，用尺规作出 ∠MON 的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

27. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC．直线 MN 过点 A 且 MN∥BC．以点 B 为一锐角顶点作 Rt△BDE，∠BDE=90∘，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合）．如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立?如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等?请直接写出你的结论，无需证明．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C【解析】当 x=−a 时，分子 x+a=−a+a=0，
如果分母 3x−1=0，即 −3a−1=0，
所以 a=−13 时，分式无意义，
当 a≠−13 时分式有意义且分子为零，此时分式的值为零．
4. B【解析】x2+px+8x2−3x+q=x2x2−3x+q+pxx2−3x+q+8x2−3x+q=x4−3−px3+q−3p+8x2+pq−24x+8q.
∵x2+px+8x2−3x+q 乘积中不含 x2 项和 x3 项，
∴3−p=0，q−3p+8=0，
∴p=3，q=1．
5. C
【解析】x−4≠0
6. D
7. D
8. C【解析】答案：C．
9. D
10. B
【解析】满足条件的 C 点如图所示：
共有 8 个点．
第二部分
11. a3+a3−a，2x−32
12. aa+ba−b
13. ②④⑥⑦，①③⑤
14. 74∘
15. 1
【解析】2a2−2a−1−2=2a2−1a−1−2=2a+1a−1a−1−2=2a+1−2=2a，
当 a=12 时，原式=2a=2×12=1．
16. −6
【解析】原式 =b2+a2ab=(a+b)2−2abab ，将 ab ， a+b 的值代入即可得到答案．
17. 1a
【解析】由已知 S1=2a，
计算可得 S2=2S1=1a，S3=2S2=2a，⋯
观察规律可得下角标为奇数时结果为 2a，下角标为偶数时结果为 1a．
18. 10
【解析】∵BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，DE⊥AB 于 E，
∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90∘，BD=BD，
∴△BDE≌△BDCAAS，
∴DE=DC，BE=BC，
∴△ADE 的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10 cm.
第三部分
19. （1） 二，去括号时没有变号
（2） 原式=a2+2ab−a2−b2=a2+2ab−a2+b2=2ab+b2.
20. 原式=3xx+2−xx−2x+2x−2⋅x+2x−2x=2x+8.
当 x=1 时，
原式=2+8=10.
21. 当 x=−7 时，ax5+bx3+cx−5=−75a+−73b+−7c−5=6，
得 −75a+73b+7c=11，
75a+73b+7c=−11．
所以当 x=7 时，
ax5+bx3+cx−5=75a+73b+7c−5=−11−5=−16.
22. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
23. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；EDC；DFB；SAS；全等三角形的对应角相等
24. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
25.
AB 的中垂线和 ∠A 的角平分线的交点即是 P 点．
26. （1） 在 △OAD 和 △OBC 中，
OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△OAD≌△OBC SAS．
∴∠OAD=∠OBC．
∵OA=OB，OC=OD，
∴OA−OC=OB−OD，即 AC=BD．
在 △APC 和 △BPD 中，
∠OAD=∠OBC,∠APC=∠BPD,AC=BD,
∴△APC≌△BPD AAS．
∴PA=PB．
（2） 如图 OP 即为所求．
【解析】以 O 为圆心，一定长为半径画弧与角两边 OM 、 ON 分别交于点 A 、 B；
再以 O 圆心，一定长为半径画弧与角两边 OM 、 ON 分别交于点 C 、 D，且 OC连接 BC 、 AD 交于点 P，连接 OP，OP 即为 ∠MON 的平分线．
27. （1） 在图 2 中，BD=DP 成立．
证明：过点 D 作 DF⊥AD 交 AB 延长线于点 F．
∵AD∥BC，∠ABC=45∘，
∴∠BAD=∠PAD=45∘，
∴△ADF 是等腰直角三角形，
∴AD=DF，∠F=45∘．
∵∠BDP=∠ADF=90∘，
∴∠ADP=∠FDB，
∴△ADP≌△FDB，
∴DP=DB．
（2） 图 3 中，BD=DP．
【解析】过点 D 作 DF⊥MN，交 BA 的延长线于点 F，
则 △ADF 为等腰直角三角形．
∴DA=DF．
在 △BDF 与 △PDA 中，
∠F=∠PAD=45∘,DF=DA,∠BDF=∠PDA.
∴△BDF≌△PDA．
∴BD=DP．