2021年北京朝阳区左家庄电气学院附属九中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区左家庄电气学院附属九中八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
A. 0B. 1C. −1D. 0 或 1

2. 要使分式 1x+2 有意义，则 x 的取值应满足
A. x=−2B. x<−2C. x>−2D. x≠−2

3. 下列图形中不是轴对称图形的是
A. 线段
B. 角
C. 等腰直角三角形
D. 三个内角度数的比为 1:2:3 的三角形

4. 下列运算中，正确的是
A. 1−x−y=−1x−yB. 3x+y2x+y=32
C. x2+y2x+y=x+yD. y−xx2−y2=−1x+y

5. 下列不是必然事件的是
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形内心到三边距离相等

6. 已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则它的周长等于
A. 12B. 12 或 15C. 15D. 15 或 18

7. 如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加的一个条件是
A. AB=DCB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AE=BF

8. 已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，如图所示，则 △ABC 一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 当 x 时，x+5 是二次根式．

10. 计算：18÷42= ，313÷10= ．

11. 如图，CA=DA，DB=BC，那么判定 △ADB≌△ACB 的理由是 ．

12. 已知 x:y=1:2 ，则 x+y:y= ．

13. 在 8，18 和 48 中，与 3 是同类二次根式的 ．

14. 如图，长方体长、 宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm，则 BD1= cm．

15. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：确定图中 CD 所在圆的圆心．
已知：CD．
求作：CD 所在圆的圆心 O．
曈曈的作法如下：
如图，
（1）在 CD 上任意取一点 M，分别连接 CM，DM；
（2）分别作弦 CM，DM 的垂直平分线，
两条垂直平分线交于点 O．
点 O 就是 CD 所在圆的圆心．
老师说：“瞳瞳的作法正确．”
请你回答：瞳瞳的作图依据是 ．

16. 如图，将分别含有 30∘，45∘ 角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 65∘，则图中角 α 的度数为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：1−32−752−212．

18. 计算 m+15m2−9−3m−3，并求当 m=−2 时原式的值．

19. 计算：xx+1−x+3x+1⋅x2−1x2+2x−3．

20. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．

21. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

22. 如图，已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是 ⊙O 的直径，D 是 AB 延长线的一点，AE⊥CD 交 DC 的延长线于 E，CF⊥AB 于 F，且 CE=CF．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=6，BD=3，求 AE 和 BC 的长．

23. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图①，若 PA=PB，则点 P 为 △ABC 的准外心．
（1）应用：如图②，CD 为等边 △ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD=12AB，求 ∠APB 的度数．
（2）探究：如图③，△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长．

24. 约分：
（1）20a3b4c28a3b2c；
（2）a2−4b2a2−4ab+4b2；
（3）a2+aba3+2a2b+ab2．

25. 已知：如图，等边 △ABC 中，点 O 是边 AC，BC 的垂直平分线的交点，M，N 分别在边 AC，BC 上，且 ∠MON=60∘．
求证：AM=CN+MN .
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】由分式 1x+2 有意义，得 x+2≠0，解得 x≠−2．
3. D
4. D【解析】A、 1−x−y=1−x+y=−1x+y，故本选项不符合题意；
B、 3x+y2x+y=32，3x+y2x+y≠32，故本选项不符合题意；
C、 x+y2x+y=x+y，x2+y2x+y≠x+y，故本选项不符合题意；
D、 y−xx2−y2=−x−yx+yx−y=−1x+y，故本选项符合题意．
5. C
6. C
7. A【解析】添加的条件是 AB=DC．
理由：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB=DC,BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCFHL．
8. B【解析】依据作图可以得到 AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=MN+NB=2+1=3，AB=AM+MN+NB=2+2+1=5，
则 AC2+BC2=AB2，即可得出 △ABC 是直角三角形．
第二部分
9. ≥−5
10. 217，33
11. SSS
12. 3:2
13. 48
14. 13
15. ①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
16. 140∘
第三部分
17. 1−32−752−212=3−1−75+2175−21=3−1−96×54=3−1−16×9×36=3−1−4×3×6=3−73.
18. 原式=m+15m+3m−3−3m−3=m+15−3m+3m+3m−3=m+15−3m−9m+3m−3=−2m+3.
当 m=−2 时，原式=−2．
19. 原式=xx+1−x+3x+1⋅x+1x−1x+3x−1=xx+1−1=x−x−1x+1=−1x+1.
20. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
21. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
22. （1） 连接 OC．
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又 CE=CF，
∴∠1=∠2．
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，∠1=∠3．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AB=6，
∴OB=OC=12AB=3．
在 Rt△OCD 中，OD=OB+BD=6，OC=3，
∴∠D=30∘，∠COD=60∘．
在 Rt△ADE 中，AD=AB+BD=9，
∴AE=12AD=92．
在 △OBC 中，
∵∠COD=60∘，OB=OC，
∴BC=OB=3．
23. （1） ∵CD 是等边 △ABC 的高，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，AD=BD，
∵PD=12AB，
∴PD=AD=BD．
又 ∵∠ADC=∠BDC=90∘，
∴∠APD=∠BPD=45∘，
∴∠APB=90∘．
（2） ∵△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，
∴AC=4．
若 PA=PB，在 Rt△ABC 中不可能，排除．
若 PA=PC，则 PA=2．
若 PB=PC，连接 PB，设 PA=x，则 PB=PC=4−x．
在 Rt△ABP 中，有 AB2+AP2=BP2，
即 32+x2=4−x2，
解得 x=78，
即 PA=78．
综上所述，PA 的长为 2 或 78．
24. （1） 原式=4a3b2c⋅5b2c4a3b2c⋅2=52b2c.
（2） 原式=a−2ba+2ba−2b2=a+2ba−2b.
（3） 原式=aa+baa2+2ab+b2=aa+baa+b2=1a+b.
25. 连接 OA，OC，OB ，在边 AC 上截得 AD=CN，连接 OD .
∵ △ABC 是等边三角形，点 O 是边 AC，BC 的垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，∠2=∠1=∠OCN=30∘ .
又 AD=CN，
∴ △ADO≌△CNO .
∴ OD=ON，∠AOD=∠CON .
∴∠AOC=∠DON=120∘ .
∵∠MON=60∘ ，
∴∠DOM=∠NOM=60∘ .
∵OD=ON，OM=OM ，
∴△DOM≌△NOM .
∴DM=NM .
∵ AM=AD+DM ，
∴ AM=CN+MN .