2021年北京朝阳区北京第五中学双合分校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京第五中学双合分校八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知一个数的算术平方根是 7，则这个数是
A. 7B. ±7C. 49D. ±49

2. 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为
A. 310B. 110C. 19D. 18

3. 要使 x+2x 有意义，则 x 的取值范围是
A. x>−2B. x≠0
C. x≥−2 且 x≠0D. x>−2 且 x≠0

4. 一个等腰三角形的顶角是 50∘，则它的底角是
A. 65∘B. 70∘C. 75∘D. 100∘

5. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 下列各式计算正确的是
A. 3+3=33B. 48÷3=4C. 2⋅3=5D. 4=±2

7. 已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 ∣a∣+a−12 的结果为
A. 1B. −1C. 1−2aD. 2a−1

8. 如图，直线 l 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 三角形三边长分别为 3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．

10. 请你写出一个介于 2 和 3 之间的无理数 ．

11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则该等腰三角形的周长是 ．

12. 一元二次方程 4xx−2=x−2 的解为 ．

13. 如图，已知在 △ABD 和 △ABC 中，∠DAB=∠CAB，点 A，B，E 在同一条直线上，若使 △ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）

14. 关于 x 的一元二次方程 kx2−6x+9=0 有实数根，则 h 的取值范围是 ．

15. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为 1 m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为 5 m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为 m．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△DEF 可以看作是 △ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 △ABC 得到 △DEF 的过程： ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：24÷3−12×10+20．

18. 如图，在 △ADF 与 △CBE 中，点 A，E，F，C 在同一直线上，已知 AD∥BC，AD=CB，∠B=∠D．求证：AF=CE．

19. 解方程：x2−4x+1=0．

20. 小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有 A，A，B，这些卡片除了字母外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．若两次摸到的卡片字母相同，则小石获胜，否则小丁获胜．这个游戏公平吗?请用画树状图或列表的方法说明理由．

21. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠ABC=46∘，∠ACB=80∘，延长 BC 至 D，使 ∠CAD=∠D，求 ∠BAD 的度数．

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A−3,5，B−2,1，C−1,3．
（1）将 △ABC 向右平移 3 个单位得到 △A1B1C1，请画出平移后的 △A1B1C1．
（2）将 △A1B1C1 沿 x 轴翻折得到 △A2B2C2，请画出翻折后的 △A2B2C2．
（3）若点 Pm,n 是 △ABC 内一点，点 Q 是 △A2B2C2 内与点 P 对应的点，则点 Q 坐标 ．

23. 如图，AC 平分 ∠BAD，AB=AD．求证：BC=DC．

24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率．
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

25. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A1,1，B5,4，C5,0．
（1）作出 △ABC 关于 y 轴的对称图形 △A1B1C1；
（2）请直接写出下列各点的坐标：A1 ，B1 ；
（3）填空：△A1B1C1 的周长为 ．

26. 关于 x 的一元二次方程 x2+2x−n−1=0 有两个不相等的实数根．
（1）若 n=3，求此方程的根；
（2）求 n 的取值范围．

27. 回答下列问题：
（1）观察下列等式，并完成填空．
3227=2327；
33326=33326；
34463=43463；
35 = 3 ．
（2）把你发现的规律用含 n 的等式表示出来．

28. 已知 △ABC 与 △ADE 是等边三角形，点 B，A，D 在一条直线上，∠CPN=60∘，PN 交直线 AE 于点 N．
（1）若点 P 在线段 AB 上运动，如图 1（不与 A，B 重合），求证：PC=PN；
（2）若点 P 在线段 AD 上运动（不与 A，D 重合），在图 2 中画出图形，猜想线段 PC，PN 的数量关系并证明你的结论．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. C【解析】由题意得，x+2≥0，x≠0，
解得，x≥−2 且 x≠0．
4. A【解析】∵ 三角形为等腰三角形，且顶角为 50∘，
底角 =180∘−50∘÷2=65∘．
5. C
【解析】选项A，B，D都是轴对称图形，且对称轴都是竖直的，选项C的图形的轮廓也是轴对称图形，但内部图案不是轴对称图形（是中心对称图形）．
故选C．
6. B【解析】A．3 与 3 不能合并，所以A选项错误．
B．原式=48÷3=4，所以B选项正确．
C．原式=2×3=6，所以C选项错误．
D．原式=2，所以D选项错误．
7. A【解析】∵ 由数轴可知，0 ∴∣a∣+a−12=a+∣a−1∣=a+1−a=1.
8. D
第二部分
9. 2.5
【解析】∵32+42=25=52，
∴ 该三角形是直角三角形，
∴12×5=2.5．
10. 5（答案不唯一）
11. 10
【解析】因为 2+2=4，
所以等腰三角形的腰的长度是 4，底边长 2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是 10，
故答案为：10．
12. x1=2，x2=14
【解析】4xx−2=x−2，
4xx−2−x−2=0，
x−24x−1=0，
x−2=0 或 4x−1=0．
解得 x1=2，x2=14．
13. AD=AC（∠D=∠C 或 ∠ABD=∠ABC 等）
14. k≤1 且 k≠0
15. 12
16. △ABC 沿 y 轴翻折后，再向上平移 4 个单位得到 △DEF
第三部分
17. 原式=24÷3−12×10+25=8−5+25=22+5.
18. 因为 AD∥BC，
所以 ∠A=∠C，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠D=∠B,AD=CB,∠A=∠C.
所以 △ADF≌△CBEASA，
所以 AF=CE．
19. 方法一：
移项得：
x2−4x=−1,
配方得：
x2−4x+4=−1+4,
即：
x−22=3,
开方得：
x−2=±3,
所以原方程的解是：
x1=2+3,x2=2−3.
【解析】方法二：
x2−4x+1=0．
因为 a=1，b=−4，c=1，
所以 b2−4ac=−42−4×1×1=12．
所以
x=−b±b2−4ac2a=4±122=4±232=2±3.
所以原方程的解是 x1=2+3，x2=2−3．
20. 这个游戏不公平．理由如下：
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
两次摸出卡片的所有可能出现的结果有 9 个，且每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有 5 个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有 4 个，
∴P小石获胜=59，P小丁获胜=49，
∴P小石获胜>P小丁获胜，
∴ 这个游戏不公平．
21. 因为 ∠ACB=80∘，
所以 ∠ACD=180∘−∠ACB=180∘−80∘=100∘．
又因为 ∠CAD=∠D，∠ACD+∠CAD+∠D=180∘，
所以 ∠CAD=∠D=40∘．
在 △ABD 中，∠BAD=180∘−∠ABD−∠D=180∘−46∘−40∘=94∘．
22. （1） 如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2） 如图所示：△A2B2C2，即为所求．
（3） m+3,−n
【解析】点 Pm,n 是 △ABC 内一点，点 Q 是 △A2B2C2 内与点 P 对应的点，则点 Q 坐标：m+3,−n．
23. ∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在 △BAC 和 △DAC 中，
AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△BAC≌△DAC．
∴BC=DC．
24. （1） 设进馆人次的月平均增长率为 x，由题意，得
128+1281+x+1281+x2=608.
化简，得
4x2+12x−7=0.
所以
2x−12x+7=0.
所以
x=0.5=50%或x=−3.5舍.
答：进馆人次的月平均增长率为 50%．
（2） 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．理由：
因为进馆人次的月平均增长率为 50%，
所以第四个月的进馆人次为
128×1+50%3=128×278=432（人次）．
因为 432<500，
所以校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
25. （1） 如图，△A1B1C1 即为所求．
（2） −1,1；−5,4
（3） 9+17
26. （1） 若 n=3，原方程为 x2+2x−2=0．
a=1，b=2，c=−2．
Δ=22−4×1×−2=12>0．
此方程有两个不等的实数根 x=−b±b2−4ac2a=−2±122，
即 x1=−1+3，x2=−1−3．
（2） a=1，b=2，c=−n−1．
Δ=22−4−n−1=4n．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即 4n>0．
解得 n>0．
27. （1） 第 4 个等式为 355124=535124．
（2） 3nnn3−1=n3nn3−1．
28. （1） PC=PN；理由如下：
如图 1 所示，在 AC 上截取 AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60∘，
∴△APF 为等边三角形，
∴PF=PA，
∵∠CPF+∠FPN=60∘，∠FPN+∠NPA=60∘，
∴∠CPF=∠APN，
在 △PCF 和 △PNA 中，
∠CPF=∠APN,PF=PA,∠PFC=∠PAN,
∴△PCF≌△PNAASA，
∴PC=PN．
（2） PC=PN；理由如下：
当 P 在 AD 上时，∠CPN 的一边 PN 交 AE 的延长线于 N，此时也有 PC=PN；
过 P 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于 F，如图 2 所示：
∴∠F=∠BCA=60∘，∠APF=∠BAC=60∘，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠CPN=60∘，
∴∠NPF=60∘−∠FPC，
∵∠BPC=60∘−∠CPF，
∴∠NPF=∠BPC，
∵∠F=∠PAN=60∘，
∴∠FCP=∠APN=60∘+∠APC，
在 △PCF 和 △NPA 中，
∠F=∠NAP,∠FCP=∠APN,CF=AP,
∴△PCF≌△NPAAAS，
∴PC=PN．