2021年北京朝阳区六五精力中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区六五精力中学八年级上期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 4 的算术平方根是
A. 2B. ±2C. 16D. ±16

2. 某校 10 名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
年龄岁12131415人数名2431
则这 10 名篮球运动员年龄的中位数为
A. 12B. 13C. 13.5D. 14

3. 下列标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 小莉家附近有一公共汽车站，大约每隔 30 分钟准有一趟车经过.则"小莉在到达该车站后 10 分钟内可坐上车"这一事件的概率是
A. 14B. 13C. 34D. 12

5. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
6. 下列实数：① 227，② 4，③ 2.15，④ 1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），其中是无理数的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

7. 当 a<0，b<0 时，把 ab 化为最简二次根式，得
A. 1babB. −1babC. −1b−abD. bab

8. 如图，直线 l 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A. B.
C. D.

9. 下列语句正确的是
A. 三个角分别对应相等的两个三角形全等
B. 有两边对应相等，且有一角为 30∘ 的两个三角形全等
C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 有两个角和其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5．若点 M，N 分别是线段 AC，AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为
A. 10B. 8C. 53D. 6

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在式子① −2，② −32，③ x+1x>−1，④ 2a−12，⑤ 34，⑥ a2+b2 中，是二次根式的有 （填写序号）．

12. 在 △ABC 中，D 为边 BC 的中点，如果 AB=6，AC=8，那么线段 BD 的长的取值范围是 ．

13. 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根为 x1=1 和 x2=2，则 b= ，c= ．

14. 计算 42+8÷32 的结果是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE=3，则 BE 的长为 ．

16. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦 − 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a，b，c（如图），记 p=a+b+c2，那么三角形的面积 S=pp−ap−bp−c．如果一个三角形三边的长分别是 5，6，7，求这个三角形的面积．

18. 解方程：x2−4x−5=0．

19. 从① ∠B=∠C ② ∠BAD=∠CDA ③ AB=DC ④ BE=CE 四个等式中选出两个作为条件，证明 △AED 是等腰三角形（写出一种即可）．

20. 为了解某校创新能力大赛的笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作了如下统计表和统计图（不完整），请根据图表中提供的信息解答问题：
得分频数百分比50（1）本次调查的总人数为 人；
（2）在统计表中，m= ，n= ；在扇形统计图中“70（3）补全频数分布直方图．

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m−1=0．
（1）求证：无论 m 为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根为负数，求 m 的取值范围．

22. 阅读下面材料，再解方程：
解方程 x2−x−2=0 当 x≥0 时，原方程化为 x2−x−2=0，解得：x1=2,x2=−1 （不合题意，舍去）
当 x<0 时，原方程化为 x2+x−2=0，解得：x1=1 （不合题意，舍去） x2=−2
∴ 原方程的根是 x1=2，x2=−2
请参照例题解方程 x2−x−1−1=0

23. 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m．若矩形的面积为 4 m2，求 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6 m）．

24. （1）已知一元二次方程 x2+px+q=0（p2−4q≥0）的两根为 x1，x2；求证：x1+x2=−p，x1⋅x2=q．
（2）已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A，B 两点，且过点 −1,−1，设线段 AB 的长为 d，当 p 为何值时，d2 取得最小值，并求出最小值．

25. 在 △ABC 中，AB=13 cm，AC=15 cm，高 AD=12 cm，求 BC 的长．

26. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，连接 BD，延长 BC 至 E，使 CE=CD，连接 DE．
（1）求 ∠E 的度数?
（2）说明 DB 与 DE 相等的理由．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B
4. B
5. B
6. D【解析】227 是分数，也是有理数；4=2，是有理数；2.15 是循环小数，是有理数；1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是无限不循环小数．是无理数．
7. B
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. ①③④⑥
12. 113. −6，4
【解析】∵ 一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根为 x1=1 和 x2=2，
∴−b2=1+2，c2=1×2，解得 b=−6，c=4．
14. 2
15. 5
16. 322+16
第三部分
17. 设 a=5，b=6，c=7，则 p=5+6+72=9，
∴ 该三角形的面积 =9×9−5×9−6×9−7=66．
18.
x2−4x−5=0,
移项，得
x2−4x=5,
两边都加上 4，得
x2−4x+4=5+4,
所以
x−22=9,
则
x−2=3或x−2=−3,
所以
x=−1或x=5.
19. 选择的条件是：① ∠B=∠C ② ∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）
证明：
在 △BAD 和 △CDA 中，
∠B=∠C,∠BAD=∠CDA,AD=DA,
∴ΔBAD≌ΔCDA AAS．
∴∠ADB=∠DAC．
在 △AED 中，∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，即 △AED 为等腰三角形．
20. （1） 200
【解析】本次调查的总人数为：20÷10%=200（人）．
（2） 5%；90；108∘
【解析】m=10200×100%=5%，n=200×45%=90，
在扇形统计图中“70 （3） 根据 8021. （1） ∵Δ=m2−4×m−1=m2−4m+4=m−22≥0，
∴ 无论 m 为何值，方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式可求得 x1=−1，x2=−m+1．
若方程只有一个根为负数，则 −m+1≥0，解得 m≤1．
故 m 的取值范围为 m≤1．
22. 当 x≥1 时，x2−x+1−1=0，得 x1=1，x2=0 （不合题意，舍去 ）；
当 x<1 时，x2+x−1−1=0，得 x1=−2，x2=1 （不合题意，舍去）；
∴ 原方程的根为 x1=1，x2=−2；
23. 设 AB=x m，
列方程，得
x6−2x=4,
解得
x1=1,x2=2舍
即
x1=1.
答：AB 的长度为 1 m．
24. （1） a=1，b=p，c=q，
∴Δ=p2−4q，
∴x=−p±p2−4q2，即 x1=−p+p2−4q2，x2=−p−p2−4q2，
∴x1+x2=−p+p2−4q2+−p−p2−4q2=−p，x1⋅x2=−p+p2−4q2⋅−p−p2−4q2=q．
（2） 把 −1,−1 代入 y=x2+px+q 得 p−q=2，q=p−2．
设抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A，B 的坐标分别为 x1,0，x2,0，
∴ 由 d=x1−x2 可得
d2=x1−x22=x1+x22−4x1⋅x2=p2−4q=p2−4p+8=p−22+4.
当 p=2 时，d2 的最小值是 4．
25. ①如图，
锐角 △ABC 中，AB=13 cm，AC=15 cm，BC 边上高 AD=12 cm，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得
BD=AB2−AD2=132−122=5 cm，
在 Rt△ACD 中，由勾股定理得
CD=AC2−AD2=152−122=9 cm，
故 BC=BD+DC=9+5=14 cm；
②钝角 △ABC 中，AB=13 cm，AC=15 cm，BC 边上的高 AD=12 cm，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得
BD=AB2−AD2=132−122=5 cm，
在 Rt△ACD 中，由勾股定理得
CD=AC2−AD2=152−122=9 cm，
故 BC 的长为 DC−BD=9−5=4 cm．
故 BC 的长为 14 cm 或 4 cm．
26. （1） 30∘．
（2） 略