2021年北京朝阳区樱花园实验学校中学部八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区樱花园实验学校中学部八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，为测量池塘边上两点 A，B 之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点 O，连接 OA，OB，并分别取它们的中点 D，E，连接 DE，现测出 AO=36 米，BO=30 米，DE=20 米，那么 A，B 间的距离是
A. 30 米B. 40 米C. 60 米D. 72 米

3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲乙丙丁平均数环方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
A. 丁B. 丙C. 乙D. 甲

4. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为
A. 16B. 13C. 12D. 23

5. 若正比例函数 y=kx 的图象经过点 Ak,9，且经过第一、三象限，则 k 的值是
A. −9B. −3C. 3D. −3 或 3

6. 甲、乙两人沿相同的路线由 A 地到 B 地匀速前进，A，B 两地间的路程为 20 km，他们前进的路程为 skm，甲出发后的时间为 th，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．①乙比甲晚出发 1 小时；②甲比乙晚到 B 地 3 小时；③甲的速度是 5 千米/时；④乙的速度是 10 千米/小时；根据图象信息，下列说法正确的是
A. ①B. ③C. ①②D. ①③

7. 一元二次方程 4x2+1=4x 的根的情况是
A. 有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根

8. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

二、填空题（共5小题；共25分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，那么 ∠α 的度数是 ．

11. 某学习小组的同学做摸球实验时，在一个暗箱里放了多个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个，记下颜色并放回暗箱，再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的数据：
摸球的次数m3004005008001000摸到白球的次数n186242296483599摸到白球的频率
请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率是 ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=2x 与双曲线 y2=2x 的图象如图所示，小明说：“满足 y1答： ．理由是 ．

13. 对称性：菱形是 图形，有 条对称轴．

三、解答题（共14小题；共182分）
14. 解方程：
（1）x2+4x−5=0．
（2）3x2+2x−1=0．

15. 已知：如图，矩形 ABCD，点 E 是 BC 上一点，连接 AE，AF 平分 ∠EAD 交 BC 于 F．求证：AE=EF．

16. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−4x+2−k=0 有实数根，
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为负整数，且方程两个根均为整数，求出它的根．

17. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 CB 至 E，延长 AD 至 F，使得 BE=DF，连接 EF 与对角线 AC 交于点 O．求证：OE=OF．

18. 2017 年 6 月 17 日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的 4000 多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为 9000 人，六月份的骑游人数约为 16000 人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到 0.01）．

19. 设函数 y=1x 与 y=2x+1 的图象的交点坐标为 a,b，求 1a−2b 的值．

20. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，延长 DE 到点 F，使得 EF=DE，连接 AF，CF．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形 ADCF 是菱形；
（3）若 AB=8，∠BAC=30∘，求菱形 ADCF 的面积．

21. 尺规作图
已知：如图，∠MAB=90∘ 及线段 AB．求作：正方形 ABCD．要求：
（1）保留作图痕迹，不写做法，作出一个满足条件的正方形即可；
（2）写出你作图的依据．

22. 从共享单车，共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速的普及，根据国家信息中心发布的中国共享经济发展报告 2017 显示，参与共享经济活动超 6 亿人，比上一年增加约 1 亿人
（1）为获得北京市市民参与共享经济活动信息，下列调查方式中比较合理的是 ；
A．对某学校的全体同学进行问卷调查．
B．对某小区的住户进行问卷调查．
C．在全市里的不同区县，选取部分市民进行问卷调查．
（2）调查小组随机调查了延庆区市民骑共享单车情况，某社区年龄在 12∼36 岁的人有 1000 人，从中随机抽取了 100 人，统计了他们骑共享单车的人数，并绘制了如下不完整的统计图表．如图所示．
骑共享单车的人数统计表
年龄段岁频数频率12≤x<1620.0216≤x<2030.0320≤x<2415a24≤x<28250.2528≤x<32b0.3032≤x<36250.25
根据以上信息解答下列问题：
①统计表中的 a= ；b= ；
②补全频数分布直方图；
③试估计这个社区年龄在 20 岁到 32 岁（含 20 岁，不含 32 岁）骑共享单车的人有多少人?

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=8x 的一个交点为 P2,m，与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B．
（1）求 m 的值；
（2）若 S△AOP=2S△AOB，求 k 的值．

24. 2020 年冬奥会将在延庆召开，延庆区某中学响应区团委的号召，组织学生参加“我是奥运小志愿者”活动，志愿者可以到“八达岭长城”、“世葡园”、“龙庆峡”、“百里画廊”四个景区之一参加活动．晓明对“八达岭长城”和“百里画廊”最感兴趣，他将四个景区编号为 A，B，C，D，并写在四张卡片上（除编号和内容不同之外，其余完全相同），他将卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取两张，请用列表或是画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“八达岭长城”，“百里画廊”的概率．（说明：这四张卡片分别用它的编号 A，B，C，D 表示）

25. 已知矩形的面积为 1，设该矩形的长为 x，周长为 y，小彬借鉴以前研究函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化进行了探究；以下是小彬的探究过程：
（1）结合问题情境分析：
① y 与 x 的函数表达式为 ；②自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯1413121234⋯y⋯17220354m203172⋯
①写出 m 的值；
②画出函数图象；
③观察图象，写出该函数两条不同类型的性质．

26. 已知：正方形 ABCD，E 为平面内任意一点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 DG，连接 EC，AG．
（1）当点 E 在正方形 ABCD 内部时，
① 根据题意，在图 1 中补全图形；
② 判断 AG 与 CE 的数量关系与位置关系并写出证明思路；
（2）当点 B，D，G 在一条直线时，若 AD=4，DG=22，求 CE 的长．（可在备用图中画图）

27. 对于点 Px,y，规定 x+y=a，那么就把 a 叫点 P 的亲和数．例如：若 P2,3，则 2+3=5，那么 5 叫 P 的亲和数．
（1）在平面直角坐标系中，已知，点 A−2,6；
① B1,3，C3,2，D2,2，与点 A 的亲和数相等的点 ；
②若点 E 在直线 y=x+6 上，且与点 A 的亲和数相同，则点 E 的坐标是 ；
（2）如图点 P 是矩形 GHMN 边上的任意点，且点 H2,3，N−2,−3，点 Q 是直线 y=−x+b 上的任意点，若存在两点 P，Q 的亲和数相同，那么求 b 的取值范围?
答案
第一部分
1. D【解析】A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．
2. B【解析】如图，连接 AB，
∵ D，E 分别为 OA 和 OB 的中点，
∴ DE 为 △OAB 的中位线，
∴ AB=2DE=40 米．
3. A【解析】由平均数可知，乙和丁成绩较好，丁的方差小于乙的方差，故丁发挥稳定．
4. C【解析】从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率 P=33+2+1=12．
5. C
【解析】∵ 正比例函数 y=kxk≠0 的图象经过第一、三象限，
∴k>0，把 k,9 代入 y=kx 得 k2=9，解得 k1=−3，k2=3，
∴k=3．
6. D【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；
乙的速度是：20÷1=20km/h；
由图象知，甲出发 1 小时后乙才出发，乙到 2 小时后甲才到．
7. B
8. D
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. 60∘
【解析】360∘÷6=60∘．
答：∠α 的度数是 60∘．
11. 0.6
【解析】观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在 0.6 左右，则 P白球=0.6．
12. 不同意，解方程组 y=2x,y=2x, 解得 x=1,y=2 或 x=−1,y=−2,
所以直线 y1=2x 与双曲线 y2=2x 的图象的两个交点坐标为 −1,−2，1,2，
所以当 x<−1 或 0【解析】不同意，理由如下：
解方程组 y=2x,y=2x, 解得 x=1,y=2 或 x=−1,y=−2,
所以直线 y1=2x 与双曲线 y2=2x 的图象的两个交点坐标为 −1,−2，1,2，
所以当 x<−1 或 013. 轴对称，两
第三部分
14. （1）
x2+4x−5=0,x+5x−1=0,x+5=0,x−1=0,x1=−5,x2=1;
（2）
3x2+2x−1=0,3x−1x+1=0,3x−1=0,x+1=0,x1=13,x2=−1.
15. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF 平分 ∠EAD，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴AE=EF．
16. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−4x+2−k=0 有实数根，
∴Δ=−42−4×1×2−k=8+4k≥0，解得：k≥−2．
（2） ∵k≥−2 且 k 为负整数，
∴k=−2 或 k=−1．
当 k=−2 时，原方程为 x2−4x+4=x−22=0，
解得：x1=x2=2；
当 k=−1 时，原方程为 x2−4x+3=x−1x−3=0，解得：x1=1，x2=3．
17. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∵BE=DF，
∴BC+BE=AD+DF，即 CE=AF，
∵AD∥CB，
∴AF∥CE，
∴∠E=∠F，∠OAF=∠OCE，
在 △AOF 和 △COE 中，
∠F=∠E,∠AOF=∠EOC,AF=CE,
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF．
18. 设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 x，根据题意得：
90001+x2=16000,
解得：
1+x=±43,
所以
x1=0.33=33%,x2=−73舍去.
答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 33%．
19. ∵ 函数 y=1x 与 y=2x+1 的图象的交点为 a,b，
∴ab=1，b=2a+1，
∴1a−2b=bab−2aab=b−2aab=11=1.
20. （1） 补全图形如图所示．
（2） ∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠ACB=90∘，
∴DE∥BC，
∵AD=DB，
∴AE=EC，
∵ED=EF，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵AC⊥DF，
∴ 四边形 ADCF 是菱形．
（3） 在 Rt△ACB 中，
∵AB=8，∠BAC=30∘，
∴BC=12AB=4，AC=3BC=43，
∵AE=EC，AD=DB，
∴DE=12BC=2，
∴DF=2DE=4，
∴S菱形ADCF=12⋅AC⋅DF=12×43×4=83．
21. （1） 正方形 ABCD 即为所求．
（2） 作图的依据：有一个角为 90∘ 的菱形是正方形．
22. （1） C
（2） ① 0.15；30
②补全图形如下：
③ 1000×0.15+0.25+0.3=700（人），
答：估计这个社区年龄在 20 岁到 32 岁（含 20 岁，不含 32 岁）骑共享单车的人有 700 人．
【解析】① a=15÷100=0.15，b=100×0.3=30．
23. （1） ∵ 点 P2,m 在双曲线 y=8x 上，
∴ m=4；
（2） 如图，连接 OP．
∵ S△AOP=2S△AOB，
∴ 12⋅AO⋅∣Py∣=2×12⋅BO⋅OA，
则 OB=2，
∴ 点 B 的坐标为 0,2 或 0,−2，
当 B 的坐标为 0,2 时，
将点 B0,2，P2,4 代入 y=kx+b，得：
b=2,2k+b=4, b=2,k=1,
解得：k=1；
当点 B 的坐标为 0,−2 时，
将点 B0,−2，P2,4 代入 y=kx+b，得：
b=−2,2k+b=4, b=−2,k=3,
解得：k=3；
综上，k 的值为 1 或 3．
24. 列表得：
A八达岭B市葡园C龙庆峡D百里画廊A八达岭ABACADB市葡园BABCBDC龙庆峡CACBCDD百里画廊DADBDC∵
所有可能情况共 12 种等可能的情况，其中抽到的两张卡片恰好是“八达岭长城”，“百里画廊”有 2 种，
∴ 抽到的两张卡片恰好是“八达岭长城”，“百里画廊”的概率 P=212=16．
25. （1） y=2x+2x；x>0
（2） ①把 x=2，y=m 代入 y=2x+2x，
解得：m=5；
②函数图象如图所示；
③当 01 时，y 随 x 增大而增大；当 x=1 时，函数 y=2x+2xx>0 的最小值为 4．
26. （1） 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，
① 根据题意，补全图形如图 1：
②AG=CE，AG⊥CE．
理由：在正方形 ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90∘，
∵ 由 DE 绕着点 D 顺时针旋转 90∘ 得 DG，
∴∠GDE=∠ADC=90∘，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC，
在 △AGD 和 △CED 中，
AD=CD,∠GDA=∠EDC,DG=DE,
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．
延长 CE 分别交 AG，AD 于点 F，H，
由 ① 中结论 △AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90∘，
∴AG⊥CE．
（2） ① 当点 G 在线段 BD 的延长线上时，如图 3 所示，过 G 作 GM⊥AD 于 M．
∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45∘．
∵GM⊥AD，DG=22，
∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6，
在 Rt△AMG 中，由勾股定理，得
AG=AM2+MG2=210，
∴CE=AG=210．
② 当点 G 在线段 BD 上时，如图 4 所示，过 G 作 GM⊥AD 于 M．
∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠ADG=45∘，
∵GM⊥AD，DG=22，
∴MD=MG=2，
∴AM=AD−MG=2，
在 Rt△AMG 中，由勾股定理，得
AG=AM2+MG2=22，
∴CE=AG=22，
故 CE 的长为 22 或 210．
27. （1） ① B，D；② −1,5
【解析】∵A−2,6，
∴−2+6=4，
∴4 是 A−2,6 的亲和数，
∴x+y=4，
∴y=−x+4, ⋯⋯①
①与点 A 的亲和数相等的点必满足函数 y=−x+4，
当 x=1 时，y=−1+4=3，
∴ 点 B 与点 A 的亲和数相同，
当 x=3 时，y=−3+4=1≠2，
∴ 点 C 与点 A 的亲和数不相同，
当 x=2 时，y=−2+4=2，
∴ 点 D 与点 A 的亲和数相同．
② ∵ 点 E 在直线 y=x+6 ⋯⋯② 上，且与点 A 的亲和数相同，联立 ①② 解得，y=−x+4,y=x+5, 解得 x=−1,y=5,
∴ 点 E 的坐标是 −1,5．
（2） 点 P 是矩形 GHMN 边上的任意点，点 Q 是直线 y=−x+b 上的任意点，若存在两点 P，Q 的亲和数相同，
∴ 直线 y=−x+b 与 矩形 GHMN 的边有交点，如图，
当直线 y=−x+b 过点 N−2,−3 时，2+b=−3，
∴b=−5，
当直线 y=−x+b 过点 H2,3 时，−2+b=3，
∴b=5，
∴−5≤b≤5，存在两点 P，Q 的亲和数相同．