2021年北京朝阳区北工大实验学校南校区九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北工大实验学校南校区九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列事件属于必然事件的是
A. 打开电视，正在播放新闻
B. 我们班的同学将会有人成为航天员
C. 实数 a<0, 则 2a<0
D. 新疆的冬天不下雪

2. 若 m<0，则点 P3,2m 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 下列图案中，是中心对称图形且是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列比例式不能判定 DE∥BC 的是
A. ADDB=AEECB. ABAD=ACAEC. ADAB=DEBCD. BDAB=CEAC

5. 已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， sinA=35 ，则 tanB 的值为
A. 43B. 45C. 54D. 34

6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是反比例函数 y=3xx>0 图象上的一个动点，PB⊥y 轴于点 B．当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积将会
A. 逐渐增大B. 不变C. 逐渐减小D. 先增大后减小

7. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

8. 下列图形可看作由下方图形绕其一顶点顺时针旋转 90∘ 而形成的图形的是
A. B.
C. D.

9. 均匀地向如图中的容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化的图象是
A. B.
C. D.

10. 如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③ACCD=ABBC；④AC2=AD⋅AB．其中单独能够判定 △ABC∽△ACD 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是 ．

12. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为 2π cm，则正方体的体积为 cm3．

13. 如果反比例函数 y=k−3x 的图象位于第二、四象限，那么满足条件的正整数 k 的值是 ．

14. 若 △ABC∽△AʹBʹCʹ，AB=4，AʹBʹ=6，BC=3，∠C=38∘，则 BʹCʹ= ，∠Cʹ= ．

15. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB=1，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，过点 C 作 CD⊥OC 交 ⊙O 于 D 点，则 CD 的最大值为 ．

16. 如图，已知点 A1，A2，A3，⋯，An 在 x 轴上，且 OA1=A1A2=A2A3=An−1An=1，分别过点 A1，A2，A3，⋯，An 作 x 轴的垂线，交反比例函数 y=2xx>0 的图象于点 B1，B2，B3，⋯，Bn，过点 B2 作 B2P1⊥A1B1 于点 P1，过点 B3 作 B3P2⊥A2B2 于点 P2，⋯，若记 △B1P1B2 的面积为 S1，△B2P2B3 的面积为 S2，⋯，△BnPnBn+1 的面积为 Sn，则 S1+S1+⋯+S2017= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ED⊥AB，BC=6，AC=8，DE=3，求 AE 的长．

18. 如图，反比例函数 y=kx（k≠0，x<0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中的网格内用直尺和 2B 铅笔画出两个三角形（不写画法），要求每个三角形均满足下列两个条件：
①三角形的三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P；
②三角形的面积等于 ∣k∣．

19. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

20. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A−2,6，B−2,2，C−4,0．
（1）在第四象限内画出 △A1B1C1，使 △A1B1C1 与 △ABC 关于点 O 位似，且 △A1B1C1 与 △ABC 的相似比为 1:2；
（2）写出点 A 的对应点的坐标．

21. 亲爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有 A,B,C 三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片 A 两面均为红，卡片 B 两面均为绿，卡片 C 一面为红，一面为绿．
（1）从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为 0 ?
（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些?请你列出表格，用概率的知识予以说明．

22. 如图，⊙O 是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽 10 cm，水最深的地方深 3 cm，求输水管的半径．

23. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在 AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 θ1，且在水平线上的射影 AF 为 1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 θ2，并已知 tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25 cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1 cm）?

24. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，过 A 作直线 AE，∠B=∠EAC．
（1）如图①，AB 为 ⊙O 的直径．求证：E 是 ⊙O 的切线．
（2）如图②，AB 不是 ⊙O 的直径．求证：AE 是 ⊙O 的切线．

25. 在 △ABC 中，AC=BC，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转，得到 △ADE，旋转角为 α（0∘<α<180∘），点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E，连接 BD．
（1）如图，当 α=60∘ 时，△ABD 是等边三角形吗?请说明理由．
（2）在旋转过程中，过点 D 作 DG 垂直于直线 AB，垂足为点 G，连接 CE．当 ∠DAG=∠ACB，∠ACB<90∘，且线段 DG 与线段 AE 无公共点时，判断 CE 与 AB 的关系，并说明理由．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=x2+2x 的图象和性质．
小奥根据学习函数的经验，对函数 y=x2+2x 的图象和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x2+2x 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值：
x⋯−5−4−3−2−1−121212345⋯y⋯−2910−52−136−2−52−174174522m522910⋯
求 m 的值；
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 2,2．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： ．

27. 如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B4,4，C6,2．
（1）在图中画出经过 A，B，C 三点的圆弧所在圆的圆心 M；
（2）点 M 的坐标为 ．

28. 已知 PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，∠APB=76∘，C 为 ⊙O 上一点．
（1）如图①，求 ∠ACB 的大小；
（2）如图②，AE 为 ⊙O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D，若 AB=AD，求 ∠EAC 的大小．

29. 反比例函数 y=kx 在第一象限上有两点 A，B．
（1）如图 1，AM⊥y 轴于 M，BN⊥x 轴于 N，求证：△AMO 的面积与 △BNO 面积相等；
（2）如图 2，若点 A2,m，Bn,2 且 △AOB 的面积为 16，求 k 的值．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】∵m<0，
∴2m<0，
∴ 点 P3,2m 在第四象限．
3. B
4. C
5. A
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 sinA=ac，tanB=ba 和 a2+b2=c2．
由 sinA=35 知，若设 a=3k，则 c=5k，结合 a2+b2=c2，得 b=4k，
∴ tanB=ba=4k3k=43．
6. C
7. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
8. B
9. A
10. C
【解析】有 3 个．
① ∠B=∠ACD，再加上 ∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
② ∠ADC=∠ACB，再加上 ∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③ 中两组对应边的比相等，∠A 不是对应边的夹角，故不能判定；
④ 可以根据两组对应边的比相等且对应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
第二部分
11. 316
12. 22
13. 1，2
14. 4.5，38∘
15. 12
16. 20172018
第三部分
17. ∵Rt△ABC 中，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90∘，
又 ∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ABAE=BCDE，
∴AE=5．
18. （1） ∵ 反比例函数 y=kx（k≠0，x<0）的图象过格点 P，
且由题图易知 P 点坐标是 −2,1，
∴ 将 P−2,1 代入 y=kx 得，k=−2×1=−2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−2x．
（2） 答案不唯一，如图所示，△APO，△BPO，△POC 都满足题意．
19. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
20. （1）
（2） 1,−3
21. （1） 依题意可知：抽出卡片 A 的概率为 0 ；
（2） 由（1）知，一定不会抽出卡片 A ，只会抽出卡片 B 或 C ，且抽出的卡片朝上的一面是绿色，那么可列下表：
朝上B(绿1)B(绿2)C(绿)朝下B(绿2)B(绿1)C(红)

可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即： P （绿） =23 ，P（红） =13 ，
所以猜绿色正确率可能高一些．
22. 如答图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 E，
则 AD=BD=12AB=5，DE=3．
设输水管的半径为 r，则 OD=r−3．
在 Rt△OBD 中，OB2=BD2+OD2，即 r2=52+r−32．
解得 r=173．
∴ 输水管的半径为 173 cm．
23. 如图所示，过 A 作 AE∥BC，则 ∠EAF=∠CBG=θ2，且 EC=AB=25 cm．
Rt△DAF 中，∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF 中，∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF−EF=AFtanθ1−tanθ2．
∵AF=140 cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×1.082−0.412=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8≈119 cm．
答：支架 DC 的高应为 119 cm．
24. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠C=90∘，
∵∠B+∠BAC=90∘，
∴∠B=∠EAC．
∴∠EAC+∠BAC=90∘，即 ∠BAE=90∘．
∴AE 为 ⊙O 的切线．
（2） 连接 AO，并延长 AO 交 ⊙O 于 Bʹ，
连接 CBʹ，
∵AC=AC，
∴∠Bʹ=∠B，
∵ABʹ 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACBʹ=90∘，
∴∠Bʹ+∠CABʹ=90∘，
又 ∵∠Bʹ=∠B，∠B=∠EAC，
∴∠Bʹ=∠EAC，
∴∠EAC+∠CABʹ=90∘．
即 ∠EABʹ=90∘．
∴AE⊥ABʹ，
∴AE 是 ⊙O 的切线．
25. （1） △ABD 是等边三角形．理由如下：
∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60∘ 得到 △ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60∘．
∴△ABD 是等边三角形．
（2） CE 与 AB 互相垂直平分．理由如下：
如图，设 CE 与 AB 相交于点 H，
∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180∘．
又 ∠DAG+∠DAE+∠BAE=180∘，
∴∠BAE=∠ABC．
∵AC=BC=AE，
∴∠BAC=∠ABC．
∴∠BAE=∠BAC．
∴AB⊥CE，且 CH=HE=12CE．
又 AC=BC，AB⊥CE，
∴AH=BH=12AB．
故 CE 与 AB 互相垂直平分．
26. （1） x≠0
（2） 将 x=3，y=m，代入 y=x2+2x，得 m=136．
（3） 画出函数图象如下：
（4） 当 x>2 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一）
27. （1） 如答图，点 M 即为所求．
（2） 2,0
28. （1） 如图，连接 OA，OB．
∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即 ∠OAP=∠OBP=90∘，
∵ ∠APB=76∘，
∴ 在四边形 OAPB 中，∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠APB=104∘．
∵ 在 ⊙O 中，∠ACB=12∠AOB，
∴ ∠ACB=52∘．
（2） 如图，连接 CE．
∵ AE 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACE=90∘，
由（1）知，∠ACB=52∘，
∴ ∠BCE=∠ACE−∠ACB=38∘．
∵ ∠BAE=∠BCE=38∘，
∵ 在 △ABD 中，AB=AD，
∴ ∠ADB=∠ABD=12180∘−∠BAE=71∘，
又 ∠ADB 是 △ADC 的一个外角，有 ∠EAC=∠ADB−∠ACB，
∴ ∠EAC=19∘．
29. （1） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，
代入 y=kx 中，得 x1⋅y1=x2⋅y2=k，
∴S△AOM=12x1⋅y1=k2，S△BON=12x2⋅y2=k2，
∴S△AOM=S△BON．
（2） 由题意 m=n=k2，
∴A2,k2，Bk2,2，
作 AE⊥x 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，
∵S△AOB+S△BOF=S梯形AEFB+S△AOE，S△BOF=S△AOE，
∴S△AOB=S梯形AEFB=12⋅2+k2⋅k2−2=16，
解得 k=12或−12（舍弃），
∴k=12．