数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）教案

【新教材】4.5.1  函数的零点与方程的解

（人教A版）

本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。

课程目标

1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.

2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．

数学学科素养

1.数学抽象：函数零点的概念；

2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；

3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；

4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.

重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；

难点：零点的概念的形成．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

①方程的解为            ，函数的图象与x轴有            个交点，坐标为              .

② 方程的解为            ，函数的图象与x轴有            个交点，坐标为            .

③ 方程的解为            ，函数的图象与x轴有            个交点，坐标为              .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的                         .

你能将结论进一步推广到吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本142-143页，思考并完成以下问题

1. 函数零点的定义是什么？

2. 函数零点存在性定理要具备哪两个条件？

3.方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

[点睛]　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[点睛]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.

四、典例分析、举一反三

题型一    求函数的零点

例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1) f (x)＝；(2) f (x)＝x2＋2x＋4；

(3) f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x.

【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．

【解析】 (1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，

所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．

(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.

所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.

(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，

所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.

解题技巧：（函数零点的求法）

求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.

跟踪训练一

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A. ，0　　　　　　　　 B．－2,0

C.    D．0

【答案】D

【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.

题型二   判断函数零点所在区间

例2 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是

A．(1,2)    B．(2,3)

C．(3,4)    D．(e，＋∞)

【答案】B

【解析】　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；

又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．

解题技巧：（判断函数零点所在区间的3个步骤）

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数

连续，则在该区间内至少有一个零点．

跟踪训练二

1.若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)

A．－2　　  　      B．0　　　     　C．1　　　   　   D．3

【答案】A

【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.

题型三   判断函数零点的个数

例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

【答案】有一个零点

【解析】[法一　图象法]

函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为

函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

[法二　判定定理法]

由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，

∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

解题技巧：（判断函数存在零点的3种方法）

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．

(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．

(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．

跟踪训练三

1.函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．

【答案】3

【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．

四、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本155页2、3、7、11.

本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.