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初中数学4 圆周角和圆心角的关系教课内容课件ppt
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3.4圆周角 (2) 1、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。5、下列命题中是真命题的是（ ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120º的弧所对的圆周角是60º课前测验B100º50º36º或144º64º100ºD问题讨论1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么?2、如图2，AB=EF,那么∠C与∠G的大小有什么关 系？为什么？图14、如图4，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O 吗？为什么？⌒⌒圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等用于找相等的弧或角同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等吗？圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径用于判断某条直线是否过圆心或判断某个圆周角是否是直角例已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：BD=CD BD=DE⌒⌒理由是：连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD（三线合一）6XXX（1）相等的圆周角所对的弧也相等。（ ）（2）90。的角所对的弦是直径。 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等。 （ ）判断对错(1)如图所示,∠BAC= ,∠DAC= .∠DBC∠BDC(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC= cm5填一填如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,则⊙O的直径为_____ E8做一做点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若BC= cm，则∠A的度数为___________。试一试60°或120° 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则(1)OC与AD的位置关系是_______; (2)OC与BD的位置关系是_______;(3)若OC = 2cm,则BD = ____cm。垂 直平 行4填一填C试一试如图：∠APC=∠CPB=60°求证：△ABC是等边三角形分析 ：船所处区域有三种情况：（1）在⊙O上；（2）在⊙O内；（3）在⊙O外。分这三种情况逐一讨论，便可说明。船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”。当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？ ·oα应用拓展解： （1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于暗礁区域内（ ⊙O内）。理由如下：①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；②假设船在⊙O外，如图，则∠ α< ∠AEB， ∠AEB＝ ∠C，即∠ α< ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外；综上所述，船只能在⊙O内。 ·oα解： （2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时，船位于暗礁区域外（ ⊙O外）。理由如下：①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；②假设船在⊙O内，如图，延长AP交⊙O于E，连接BE，则∠E＝ ∠C。因为 ∠ α> ∠E， 所以∠ α> ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内；ABCEP·Oα综上所述，船只能在⊙O外。 如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · ADAOBCDE证明：连结BE ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC=90° ∴∠ADC =∠ABE=900， ∠C =∠E ∴△ADC∽ △ABE ∴∴AB · AC = AE · AD综合提升能力拓展在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，现要建造一个矩形水池DEFN，使D、E在AB上，N在AC上，F在BC上。设计如图所示的方案，其中使AC=8，BC=6。（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？最大值是多少？ADGEBNCFM解：（1）（2）设水池DEFN的面积为y ∵NF∥AB ∴△CNF∽△CAB∴当x=2.4时，水池DEFN的面积最大，最大值是12。1、本节课我们学习了哪些知识？小结圆周角定理的两个推论引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角。（2）构造同弧所对的圆周角。2、本节课我们学习了哪些方法？1.如图1,在⊙O中,∠ABC,∠ADC,∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系?为什么?合作探究∠ABC = ∠ADC = ∠AEC连接OA,OC则：∠ABC= ∠AOC ∠ADC= ∠AOC ∠AEC= ∠AOC2.如图2,在⊙O中,若AB等于EF.能否得到∠C =∠G呢？合作探究连接OA,OB，OE，OF则：∠C= ∠AOB ∠G= ∠EOF 因为AB=EF所以∠AOB= ∠EOF所以∠C=∠G⌒⌒⌒⌒3.如图，BC是⊙O的直径，你知道它所对的圆周角的大小吗？图3∠BAC =90º合作探究4.如图4，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？合作探究
3.4圆周角 (2) 1、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。5、下列命题中是真命题的是（ ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120º的弧所对的圆周角是60º课前测验B100º50º36º或144º64º100ºD问题讨论1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么?2、如图2，AB=EF,那么∠C与∠G的大小有什么关 系？为什么？图14、如图4，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O 吗？为什么？⌒⌒圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等用于找相等的弧或角同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等吗？圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径用于判断某条直线是否过圆心或判断某个圆周角是否是直角例已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：BD=CD BD=DE⌒⌒理由是：连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD（三线合一）6XXX（1）相等的圆周角所对的弧也相等。（ ）（2）90。的角所对的弦是直径。 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等。 （ ）判断对错(1)如图所示,∠BAC= ,∠DAC= .∠DBC∠BDC(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC= cm5填一填如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,则⊙O的直径为_____ E8做一做点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若BC= cm，则∠A的度数为___________。试一试60°或120° 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则(1)OC与AD的位置关系是_______; (2)OC与BD的位置关系是_______;(3)若OC = 2cm,则BD = ____cm。垂 直平 行4填一填C试一试如图：∠APC=∠CPB=60°求证：△ABC是等边三角形分析 ：船所处区域有三种情况：（1）在⊙O上；（2）在⊙O内；（3）在⊙O外。分这三种情况逐一讨论，便可说明。船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”。当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？ ·oα应用拓展解： （1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时，船位于暗礁区域内（ ⊙O内）。理由如下：①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；②假设船在⊙O外，如图，则∠ α< ∠AEB， ∠AEB＝ ∠C，即∠ α< ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外；综上所述，船只能在⊙O内。 ·oα解： （2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时，船位于暗礁区域外（ ⊙O外）。理由如下：①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；②假设船在⊙O内，如图，延长AP交⊙O于E，连接BE，则∠E＝ ∠C。因为 ∠ α> ∠E， 所以∠ α> ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内；ABCEP·Oα综上所述，船只能在⊙O外。 如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · ADAOBCDE证明：连结BE ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC=90° ∴∠ADC =∠ABE=900， ∠C =∠E ∴△ADC∽ △ABE ∴∴AB · AC = AE · AD综合提升能力拓展在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，现要建造一个矩形水池DEFN，使D、E在AB上，N在AC上，F在BC上。设计如图所示的方案，其中使AC=8，BC=6。（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？最大值是多少？ADGEBNCFM解：（1）（2）设水池DEFN的面积为y ∵NF∥AB ∴△CNF∽△CAB∴当x=2.4时，水池DEFN的面积最大，最大值是12。1、本节课我们学习了哪些知识？小结圆周角定理的两个推论引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角。（2）构造同弧所对的圆周角。2、本节课我们学习了哪些方法？1.如图1,在⊙O中,∠ABC,∠ADC,∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系?为什么?合作探究∠ABC = ∠ADC = ∠AEC连接OA,OC则：∠ABC= ∠AOC ∠ADC= ∠AOC ∠AEC= ∠AOC2.如图2,在⊙O中,若AB等于EF.能否得到∠C =∠G呢？合作探究连接OA,OB，OE，OF则：∠C= ∠AOB ∠G= ∠EOF 因为AB=EF所以∠AOB= ∠EOF所以∠C=∠G⌒⌒⌒⌒3.如图，BC是⊙O的直径，你知道它所对的圆周角的大小吗？图3∠BAC =90º合作探究4.如图4，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？合作探究
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