《合情推理与演绎证明》文字素材3（人教A版选修1-2）

推理案例赏析 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解．　　例１　设，，已知，探求的一般公式．　　思路１：（归纳的方案）　　如表１所示，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论．1234561514305591　　但是，从表１的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：与会不会有某种联系？如表2所示，进一步列举出的值，比较与，希望有所发现．1234561361015211514305591　　观察了和的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？　　尝试计算．终于在计算和的比时，发现“规律”了（表3）1234561361015211514305591　　从表3中发现，　　于是，猜想．       ①　　公式①的正确性还需要证明．　　思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？　　思路2：（演绎的方案）　　尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和．　　（1）把中的各项表示出来，有　　　　　　　　1，，，，　　　　，左右两边分别相加，得，等号两边的被消去了，所以无法从中求出的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出，却求出了的表达式，即．它启示我们：既然能用上面的方法求出，那么我们也应该可以用类似的方法求出．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：　　　　　　　　　　　1，，，，　　　　，左右两边分别相加，得．由此知，终于导出了公式．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？              剖析用归纳推理求解一类题归纳是一种“由特殊到一般”，“由个别到普遍”，“由表象到实质”的推理，是人类探索规律，认识世界的一种重要思想方法．有一类以平面几何为背景，n条直线（或圆等）相交，推测交点个数或分成的区域个数，成为近年高考热点．它综合性强，与数列联系紧密，下面　　　　　结合具体例子剖析求解策略．　例１　平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，若表示这个圆把平面分割的区域数，试求．分析：由题意推测出递推式，再由递推式求出．解：表示个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，则有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成段弧且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即，且．由递推公式得，，，，，将以上个等式累加得．例2　（2005年广东）设平面内有条直线（），其中有且仅有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则　　　　，当时，　　　　（用表示）．解：因为表示条直线交点的个数，若再增加一条直线，则这条直线与前条直线都相交，则交点个数增加个，故，且．，．将以上各式累加得．．评析：这类问题直接求解较复杂，可转化为推测任何相邻两项关系，再用数列知识求解．练习：（黄冈调考题）已知一个三角形内有2004个点，任意一个点都不在其它任何二点的连线上，则这些点（含三角形三个顶点）将该三角形分成不重合的三角形区域有（　　）Ａ．2004个  Ｂ．4008个  Ｃ．4009个  Ｄ．2005个答案：Ｃ．    演绎推理的三段论 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．其主要形式是由大前提、小前提和推出的结论的三段论式推理，可以表示为：    用集合论的观点来讲，就是：若集合Ｍ的所有元素都具有性质Ｐ，Ｓ是Ｍ的子集，那么Ｓ中所有元素都具有性质Ｐ．其推理规则可用符号表示为：“如果，则．”三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生第三个判断———结论．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．例1　如图，分别是上的点，，，求证：．证明：（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）与是同位角，且，（小前提）所以，．（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）且，（小前提）所以，四边形为平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提）和为平行四边形的对边，（小前提）所以，．（结论）上面的证明通常简略地表述为：四边形是平行四边形．例2　已知均为正实数，，求证：．证明：，．评注：1．每一步推理（即每一个“因为”，“所以”）都体现一个演绎推理“三段论”，并且环环紧扣，推理清晰．2．演绎的前提是一般原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别，特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．3．演绎推理是一种必然性推理，因此，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．如整数是自然数（大前提），－3是整数（小前提），所以－3是自然数（结论）．由错误的大前提导致了错误的结论．但将小前提改为：3是整数，则结论：3是自然数．此时大前提错误，但结论正确．4．演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较少创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．