数学选修1-22.2直接证明与间接证明一课一练

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课时提升作业 六

　分　析　法

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.用分析法证明:欲证①A>B,只需证②C<D,这里②是①的　(　　)

A.充分条件　　　　　　 B.必要条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.要证①A>B,只需证②C<D,

所以②⇒①.

即②是①的充分条件.

2.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件　(　　)

A.a2<b2+c2     B.a2=b2+c2

C.a2>b2+c2     D.a2≤b2+c2

【解析】选C.若角A为钝角,由余弦定理知cosA=<0,所以b2+c2-a2<0,即b2+c2<a2.

3.(2016·潍坊高二检测)若P=+,Q=+(a≥0).则P与Q的大小关系为　(　　)

A.P>Q     B.P=Q

C.P<Q     D.由a的取值确定

【解析】选C.因为a≥0,所以P>0,Q>0,且当a=0时,P=,Q=+2,

有P<Q,下面用分析法证明P<Q.

要证+<+.

只需证明2a+7+2<2a+7+2,

即只需证明<,

只需证明a2+7a<a2+7a+12,

只需证0<12,显然成立,故P<Q成立.

4.下列不等式不成立的是　(　　)

A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca

B.+>(a>0,b>0)

C.-<-(a≥3)

D.+>2

【解析】选D.对于A,因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

对于B,因为(+)2=a+b+2,()2=a+b,所以+>;

对于C,要证-<-(a≥3)成立,

只需证明+<+,两边平方得2a-3+2 <2a-3+2,

即<,

两边平方得a2-3a<a2-3a+2,即0<2.

因为0<2显然成立,所以原不等式成立;

对于D,(+)2-(2)2

=14+2-28

=2(-7)<0,所以+<2,即D错误.

5.若x>0,y>0,且+≤a恒成立,则a的最小值是　(　　)

A.2　　　  　B.　　　  　C.2　　 　　D.1

【解析】选B.原不等式可化为

a≥==

要使不等式恒成立,只需a不小于的最大值即可.

因为≤,当且仅当x=y时取等号,所以a≥,所以a的最小值为.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.要证-<成立,则a,b应满足的条件是__________________.

【解析】要证-<,

只需证(-)3<()3,

即a-b-3+3<a-b,

即3-3>0,即(-)>0.

故所需条件为或

即ab>0且a>b或ab<0且a<b.

答案:ab>0且a>b或ab<0且a<b

【误区警示】本题在寻找条件时常常因书写条件不全导致失分.

7.(2016·烟台高二检测)如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).

【解析】要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.

答案:对角线互相垂直(本题答案不唯一)

8.在△ABC中,∠C=60°,a,b, c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则+= ________.

【解析】因为∠C=60°,所以a2+b2=c2+ab.

所以(a2+ac)+(b2+bc)

=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),

所以+==1.

答案:1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2016·聊城高二检测)已知a>0,b>0且a+b=1,求证:+≤2.

【证明】要证+≤2.

只需证a++b++2≤4,

又a+b=1,

即只需证明　≤1,

而≤

==1成立.

所以+≤2成立.

10.设x≥1,y≥1,证明:x+y+≤++xy.

【证明】由于x≥1,y≥1,要证x+y+≤++xy,只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.

将上式中的右式减左式,得

-

=-

=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)

=(xy-1)(xy-x-y+1)

=(xy-1)(x-1)(y-1).

因为x≥1,y≥1,

所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,

从而所要证明的不等式成立.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·海口高二检测)对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证α⊥β需具备的条件是　(　　)

A.m⊥l,m∥α,l∥β　　　　　B.m⊥l,α∩β=m,l⊂α

C.m∥l,m⊥α,l⊥β    D.m∥l,l⊥β,m⊂α

【解析】选D.本题是寻找α⊥β的充分条件.A:与两条互相垂直的直线分别平行的两平面的位置关系不确定;B:平面内的一条直线与另一平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不确定;C:这两个平面平行;D能够推得α⊥β,故选D.

2.(2016·揭阳高二检测)已知a,b为非零实数,则使不等式+≤-2成立的一个充分不必要条件是　(　　)

A.ab>0     B.ab<0

C.a>0,b<0    D.a>0,b>0

【解析】选C.要使+≤-2,

只需<0,<0即可.

即a,b异号.

故C是使+≤-2成立的一个充分不必要条件,故选C.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.已知a,b,μ∈(0,+∞)且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.

【解析】由题意得a+b=(a+b)

=10+

≥10+2=16,

当且仅当=且+=1,

即a=4,b=12时,等号成立.

所以a+b的最小值为16,

所以要使a+b≥μ恒成立,只需μ≤16.

又因为μ∈(0,+∞),所以0<μ≤16.

答案:0<μ≤16

4.已知a>0,b>0,m=lg,n=lg,则m与n的大小关系为________.

【解析】因为(+)2=a+b+2>a+b>0,所以>,所以m>n.

答案:m>n

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·海口高二检测)已知a>0,求证:-≥a+-2.

【证明】要证-≥a+-2,

只要证+2≥a++,

因为a>0,只需证≥,

即a2++4+4≥

a2++2+2+2,

从而只需证2≥,

只需证4≥2,

即a2+≥2,

上述不等式显然成立.故原不等式成立.

6.(2016·吉安高二检测)是否存在常数c,使得不等式+≤c≤+对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论.

【解析】存在常数c=.

令x=y=1,得≤c≤,

所以c=.

先证明+≤,

因为x>0,y>0,

要证+≤,

只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),

即x2+y2≥2xy,这显然成立,

所以+≤.

再证+≥,

只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),

即2xy≤x2+y2,这显然成立.

所以+≥.

所以存在常数c=,使对任何正数x,y都有+≤≤+成立.

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