《合情推理与演绎证明》文字素材8（新人教A版选修1-2）

 推理与证明复习指导对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构： 演绎推理               推理 归纳和情推理类比 2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． ③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知，可以，，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明．    例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．  ④推理过程：从具体问题出发　　观察、分析、比较、联想　　　归纳、类比　　　猜想． 3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； ②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；　ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；集合简述：ⅰ大前提：且具有性质；　ⅱ小前提：且；ⅲ结论： 也具有性质；               例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是　　　　　．　　　　　　　　解答：由（大前提）　　　　　　　　　　　因为在上是凸函数 （小前提）得　 （结论）　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　因此，的最大值是                   注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型 ４．和情推理与演绎推理的关系：　　①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；  例２．设，（其中且）　　　（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；　　　（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.   解答:（1）由＝＋＝　　　又＝　因此，＝　　（2）由＝       即＝     于是推测＝   证明：因为：，（大前提）所以＝， ＝，＝，（小前提及结论）所以＝＋         ＝＝            解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝．       二．证明部分　　　１．知识结构　　　　　　　　　　数学归纳法　　　　　　　　　　　　　综合法证明 直接证法分析法 间接证法 反证法 　　　　　　　　　２．综合法与分析法　①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．　②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例３．已知：，求证：　　　　　　　　证明：　　因为所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又由已知，因此，成立．　　　　　　　　　　　　由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．　　　　　　　　　　　　解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)这里表示了,()是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.                     例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切.                     证明：（如图）作AA／、BB／垂直                  准线，取AB的中点M，作MM／垂直准线.要证明以AB为                  直径的圆与准线相切                      只需证｜MM／｜＝｜AB｜                      由抛物线的定义：                      ｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜                    所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.以上解法同学们不难以综合法作出解答.                   解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,                特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：　　　　      （1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；　　　　       （2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当 时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．　 （3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设ｎ＝时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；　　　　　　 　      数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．　　　　　　　　　　例５．已知数列的前和为，其中且(1)求(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解答：（1）        又，则，类似地求得     （2）由，，…         猜得：        以数学归纳法证明如下：        ①当时，由（1）可知等式成立；②假设当时猜想成立，即                那么，当时，由题设得，                 所以＝＝                     －                   因此，                  所以                  这就证明了当时命题成立.                   由①、②可知命题对任何都成立.                  解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；                  （2）解题时注意已知式对任何都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步.                     三．高考要求                     高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.                     近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.