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    1.2.1 等差数列及其通项公式课件

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    高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列课堂教学ppt课件

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    这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列课堂教学ppt课件,共27页。PPT课件主要包含了教学目标,学科素养,知识回顾,新知探索,拓展提升,归纳总结,SumUp,课后作业等内容,欢迎下载使用。
    Retrspective Knwledge
    数列的相关概念∶按照一定顺序排成的一列数叫作数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第 2 项,……,排在第n位的数叫作数列的第n项,所以数列的一般形式可以写成 a1,a2,…,an,… 简记为{an}.
    数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an,可以用关于n的一个公式表示,那么这个公式就称为数列{an}的通项公式.
    数列的递推公式:如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1 =f (an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式;a1称为数列{an}的初始条件.
    数列的前n项和公式:数列{an}从第1项到第n项的各项之和,称为数列{an}的前n项和,常记作Sn,如果Sn与数列{an}的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列{an}的前n项和公式.
    New Knwledge explre
    在现实生活中,我们会遇到下面的特殊数列:(1)全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(单位: cm)由大至小可组成数列 25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21. ①(2)某住宅小区 2013—2017 年的绿化建设有如下数据: 2013—2017 年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%,17.8%,19.8%,21.8%,23.8%. ②
    (3)黄白两种颜色的正六边形按如图1.2-1的规律拼成一系列图案.图案中白色正六边形的个数依次构成数列 6,10,14,……. ③
    这些数列有什么共同的特点呢?
    研究这些数列的特征及变化规律,我们可以发现:
对于数列①25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21. 从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 -0.5;对于数列②15.8%,17.8%,19.8%,21.8%,23.8%. 从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于2%;对于数列③ 6,10,14,……. 从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 4.
 也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.

    一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.

    显然,若数列{an}为等差数列,那么它的递推关系为: an-an-1=d,n≥2 ; an+1-an = an-an-1,n≥2.
    数列①、②、③均为等差数列,它们的公差分别为-0.5,2%,4.
    若等差数列{an}的首项a1,公差为d ,那么根据等差数列的定义可得: a2-a1=d ;a3-a2=d ;a4-a3=d ……进而移项可得: a2=a1+d ; a3=a2+d= a1+2d; a4=a3+d= a1+3d ; ……猜想: an=a1+(n-1)d .
    数列的通项公式决定了数列的每一项,也就决定了数列的全部性质,那么我们能否找到等差数列的通项公式呢?
    若等差数列{an}的首项a1,公差为d ,那么根据等差数列的定义可得: a2-a1=d ; a3-a2=d ; a4-a3=d ; …… an-an-1=d,n≥2 . 把这n-1个式子相加可得: an-a1=(n-1)d . 由此得到 an=a1+(n-1)d .
    当n=1时,等式两边均为a1,这表明该等式对任意n∈N+都成立,因此等差数列{an}通项公式为:
    an=a1+(n-1)d(n∈N+)
    求数列通项公式的一种常用方法.
    一般地,如果等差数列{an}的首项a1,公差为d ,那么该等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d .
    根据等差数列的通项公式,我们可以得到下列数列的通项公式.①25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21.
 a1=25,d=-0.5,②15.8%,17.8%,19.8%,21.8%,23.8%.
 a1=15.8%,d=2%,③ 6,10,14,……. 
 a1=6,d=4,
    an=25+(n-1)×(-0.5)=-0.5+25.5
    an=15.8%+(n-1)×2%=2n%+13.8%
    an=6+(n-1)×4=4n+2
    例1 已知数列{an}是等差数列.(1)如果a1=5,a2=2,求公差 d 和 a3;(2)如果a3=5,a2=2,求公差 d 和a1 .
    解:由等差数列的定义,可知(1)公差d = a2-a1=-3,a3 = a2+d =-1.(2)公差d = a3-a2=3,a1 = a2-d =-1.
    例2 证明:a,b,c三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c .
    证明:如果a,b,c成等差数列,由等差数列的定义得b-a=c-b, 那么2b=a+c . 反过来, 如果2b=a+c, 那么b-a=c-b, 由等差数列的定义知,a,b,c成等差数列.因此,a,b,c三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c .
    在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M 称为a与b的等差中项. M 为a与b的等差中项 ⟺ 2M =a+b.
    例3 已知等差数列 8,5,2,……. (1)求该数列的第20项.(2)试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由.(3)该数列共有多少项位于区间[-200,0]内?
    解 记该等差数列为{an},公差为d, 由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8= -3, 所以数列的通项公式是 an=8+(n-1)×(-3)=-3n+11 .(1)该数列的第20项 a20=-3×20+11=-49 .
    例3 已知等差数列 8,5,2,……. (2)试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由.(3)该数列共有多少项位于区间[-200,0]内?
    解 记该等差数列为{an},通项公式是 an=-3n+11 .(2)如果-121是这个数列的项,则方程-3n+11 = -121有正整数解. 解这个方程,得n = 44, 故-121是该等差数列的第 44 项.
    例3 已知等差数列 8,5,2,……. (3)该数列共有多少项位于区间[-200,0]内?
    解 记该等差数列为{an},通项公式是 an=-3n+11 .(2)解不等式-200 ≤ -3n+11 ≤0, 因此,该数列位于区间[-200,0]内的项从第 4项起直至第 70 项,共有 67 项.
    Expansin And Prmtin
    等差数列通项公式的性质
    练习1 已知等差数列{an}中,a6=-24,a30=-48,求{an}的通项公式an.
    解:记该等差数列{an}的公差为d,则 a6=a1+(6-1)d=a1+5d=-24, a30=a1+(30-1)d=a1+29d=-48,两式相减,得 a30-a6 = 24d= -24,解得d =-1,a1=-19,所以 an=-19+(n-1)×(-1)=-n-18 .
    a30-a6 = (30-6)d
    an-am = (n-m)d,(n,m∈N+) 成立吗?
    性质 如果数列{an}为等差数列,那么 an= am + (n-m)d,(n,m∈N+) .
    证明:记等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d, am=a1+(m-1)d,两式相减,得 an-am= (n-m)d,即 an=am+(n-m)d .
    性质 如果an,am,ap,aq为等差数列{an}的项,且n+m=p+q,(n,m,p,q∈N+)那么 an+ am = ap+ aq. 特别地,若n+m=2p,那么 an+ am = 2ap.
    证明:记等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d, am=a1+(m-1)d, ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,所以 an+am =2a1+(n+m-2)d, ap+aq=2a1+(p+q-2)d,又 n+m=p+q,所以 an+am = ap+aq .
    练习2 已知等差数列{an}中,a2+a6=14,a3=8,求a5.
    解:因为等差数列{an}中有a2+a6=a3+a5, 又a2+a6=14,a3=8, 所以14=8+a5, 所以 a5=6.
    等差数列: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示.

    等差数列的通项公式: 一般地,如果等差数列{an}的首项a1,公差为d ,那么该等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d .

    等差数列通项公式的性质: 如果数列{an}为等差数列,那么 an= am + (n-m)d,(n,m∈N+) . 如果数列{an}为等差数列,那么an+ am = ap+ aq(n,m,p,q∈N+)特别地,若n+m=2p,那么 an+ am = 2ap.
    Hmewrk After Class

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