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2012-2013高二北师大数学选修2-2:第五课时 第四章 定积分小结与复习教学设计
展开第五课时 第四章 定积分小结与复习
一、教学目标:
1、理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计算一些函数的积分;
2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程;
3、掌握定积分的计算方法;4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、教法指导:
1、重点理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计算一些函数的积分;
2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想;
3、重点掌握定积分的计算方法。
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:等分区间;②近似代替:取点;③求和:;④取极限:
(3)曲边图形面积:;变速运动路程;变力做功
2).定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间上函数连续且恒有,那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分的几何意义。
3).定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1;
性质2(定积分的线性性质);
性质3(定积分的线性性质);性质4(定积分对积分区间的可加性)
(1) ; (2) ;
说明:①推广:
②推广:
③性质解释:
(二)、方法点拨:
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤:(1)、画出图形;(2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,为定积分的上下界;(3)确定被积函数函数,特别分清被积函数的上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分公式求出定积分。
2、求简单旋转体体积的解题步骤:(1)画出旋转前的平面图形(将它转化为函数);(2)确定轴截面的图形的范围;(3)确定被积函数;(4)v=
(三)、例题探究
例1、给出以下命题:(1)若,则f(x)>0; (2);
(3)应用微积分基本定理,有, 则F(x)=lnx;
(4)f(x)的原函数为F(x),且F(x)是以T为周期的函数,则;
其中正确命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
例2、求由曲线与,,所围成的平面图形的面积。
例3、如图所示,已知曲线与曲线交于点、,
直线与曲线、分别相交于点、,连结。写出曲边四边形 (阴影部分)的面积与的函数关系式。
解:(Ⅰ)由得点.又由已知得.
故
.
.
例4、物体A以速度在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A的走过的路程是多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s)
解:设A追上B时,所用的时间为依题意有 即
=5 (s)
所以 ==130 (m)
(四)、课堂练习:
1.计算下列定积分。(10分)
(1) (2)
解:(1) =
= +
=
(2) 原式===1