2012-2013高二北师大数学选修2-2：第五课时 第三章 导数的应用小结与复习教学设计
展开第五课时 第三章 导数的应用小结与复习
一、教学目标：
1、知识与技能:①利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
2、过程与方法:①通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力； ② 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
3、情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。
二、教学重难点：通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力； 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程:
类型一 利用导数研究函数的单调性
1.导数的符号与函数单调性关系
(1)若f′(x)＞0,则f(x)为增函数；若f′(x)＜0,则f(x)为减函数；若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0.
2.利用导数求函数单调区间的步骤：
(1)求f′(x)；
(2)求方程f′(x)=0的根，设根为x1,x2,…xn；
(3)x1,x2,…xn将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f′(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性.
3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：
(1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0(≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)=0的参数是否符合题意.
(2)构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)＞0(＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数.
特别提醒：利用导数研究函数单调区间，注意验证区间端点是否符合题意.
【例1】已知x∈R，奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在［1,+∞)上单调，则字母a,b,c应满足的条件是什么？
【审题指导】f(x)在［1,+∞)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，或者［1,+∞)是f(x)单调区间的子集.
【规范解答】∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0⇒c=0；
f(x)+f(-x)=0⇒a=0.∴f′(x)=3x2-b.
方法一：若f(x)在x∈［1,+∞)上是增函数，则f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，即b≤(3x2)min=3.
若f(x)在x∈［1,+∞)上是减函数，则f′(x)≤0在［1,+∞)上恒成立，这样的b不存在.
综上可得：a=c=0,b≤3.
方法二：若f(x)在x∈［1,+∞)上是增函数，若b≤0,
f′(x)=3x2-b≥0恒成立，符合题意;若b＞0，则由f′(x)=3x2-b≥0得,
即f(x)的单调区间是
所以 0＜b≤3.∴b≤3.
若f(x)在x∈［1,+∞)上是减函数，f′(x)≤0恒成立，这样的b不存在.综上可得：a=c=0,b≤3.
类型二 利用导数求函数的极值和最值
1.导数对于函数极值与最值的作用：
函数的极值与最值是函数的重要性质，最值与极值有着密切的关系，而极值是函数在某点处的特殊性质，初等方法难以刻画，因而导数就成为研究函数极值的有力工具.
2.求函数f(x)的极值的步骤及注意事项:
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根(x为可能的极值点)；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.
3.利用导数求函数f(x)在区间［a,b］上最值的步骤及注意事项:
(1)求f(x)在区间［a,b］内的极值(极大值或极小值)；
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别提醒：①当f(x)在区间［a,b］上单调时，最值在端点处取得.
②若函数f(x)在区间［a,b］内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间［a,b］内的最大值(或最小值).
【例2】函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.
(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.
【审题指导】(1)由切线方程可得f(1)=4，f′(1)=3，
又y=f(x)在x=-2时有极值，所以f′(-2)=0，构造三个方程求三个系数a,b,c.(2)求导，求极值，列表求最值.
【规范解答】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，求导数得f′(x)=3x2+2ax+b，过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y-f(1)=f′(1)(x-1)，
即为：y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)·(x-1)，
而过P(1，f(1))的切线方程是y=3x+1，
又y=f(x)在x=-2时有极值，
∴f′(-2)=0，∴-4a+b=-12，②
联立①②解得：a=2，b=-4，c=5，
即f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f′ (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，
令f′(x)=0,则x=-2或
当x在［-3,1］变化时，f(x)、 f′(x)的变化如表：
f(x)极大值=f(-2)=13，又∵f(1)=4，
∴f(x)在区间［-3,1］上的最大值是13.
类型三 导数在实际问题中的应用
1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定义域.
(2)求f′(x)，令f′(x)=0，得出所有实数解.
(3)比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.
2.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际
意义去考察，不符合实际意义的值应舍去.
(2)在实际问题中，由f′(x)=0常常仅解得一个根，若
能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这
个根处的函数值就是所求的最大(小)值.特别提醒：此类题目易忽视求函数实际意义中的定义域，导致最值求错.
【例3】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元，而其他和速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1公里所需的费用总和为最小？
【审题指导】由条件“速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元”可求燃料费和它的速度的立方成正比的比例系数，再表示出每小时的总费用，除以速度即为每公里所用的费用.
【规范解答】设速度为每小时v公里的燃料费是每小时p元，则p=kv3.
又∵6=k·103,∴k=0.006,∴p=0.006v3.
设行驶1公里所需的总费用为y元，
则
∴ 由y′=0,得v=20(公里/小时).
又∵当0＜v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0.∴当速度为每小时20公里时，航行1公里所需的费用总和最小.
类型四 恒成立问题
解决恒成立问题常用的方法：
(1)函数与方程方法.利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究.有些问题需要经过代换转化成二次函数或二次方程.注意代换后的自变量的范围变化.
(2)分离参数法.将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：a=f(x)或a＞f(x)或a＜f(x)恒成立的形式.则：
a=f(x)即a的范围是f(x)的值域；
a＜f(x)恒成立即a＜f(x)min；
a＞f(x)恒成立即a＞f(x)max.
特别提醒：参数范围中区间端点的开闭一定要单独验证来取舍.
【例4】设 当x∈［-2,2］时，f(x)-m
＜0恒成立，求实数m的取值范围.
【审题指导】f(x)-m＜0恒成立即f(x)＜m恒成立，只需m大
于f(x)的最大值.
【规范解答】f′(x)=3x2-x-2，由f′(x)＞0得3x2-x-2＞0,
即
由f′(x)＜0得3x2-x-2＜0，即 所以函数单调增
区间是 ；函数的单调减区间是
由f(x)＜m恒成立，
∴m大于f(x)的最大值.当x∈［-2,2］时，
(1)当x∈ 时，f(x)为增函数，所以
=
(2)当x∈ 时，f(x)为减函数，
所以
(3)当x∈［1,2］时，f(x)为增函数，
所以f(x)max=f(2)=7；因为 从而m＞7.
课堂练习
1.设y=8x2-lnx，则此函数在区间 和 内分别 ( )
(A)单调递增，单调递减 (B)单调递增，单调递增
(C)单调递减，单调递增 (D)单调递减，单调递减
【解析】选C.
当x∈ 时，y′＜0，y=8x2-lnx为减函数；
当x∈ 时，y′＞0，y=8x2-lnx为增函数.
2.对于R上可导的任意函数f(x),若f(x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，1)时，(x-1)f′(x)＜0，设a= f(0)，
c=f(3)，则( )
(A)a＜b＜c (B)c＜a＜b
(C)c＜b＜a (D)b＜c＜a
【解析】选B.由当x∈(-∞，1)时， (x-1)f′(x)＜0，知f(x)在(-∞，1)上为增函数.又由f(x)=f(2-x)得c=f(3)=f(-1)，所以c＜a＜b.
3.若函数 在(1，+∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
(A)［-2，+∞) (B)(-∞，-1)
(C)(1，+∞) (D)(-∞，2］
【解析】选A.因为 所以
在(1，+∞)上恒成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k∈［-2，+∞).
4.设底为等边三角形的直棱柱的体积为2，当其表面积最小时，底面边长为( )
(A) (B) (C)2 (D)4
【解析】选C.设底面边长为x，则表面积
(x＞0)， 令S′=0，得x=2.
5.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)·(x-a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是_______.
【解析】结合二次函数图像知，
当a＞0或a＜-1时，在x=a处取得极小值，
当-1＜a＜0时，在x=a处取得极大值，故a∈(-1,0).
答案：(-1,0)
6.当x＞0时，ex-1与x的大小关系是_______.
【解析】令f(x)=(ex-1)-x，则f′(x)=ex-1.
当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数，
所以(ex-1)-x＞f(0)=0,即ex-1＞x.
答案：ex-1＞x
