2013-2014学年高二数学 章末质量评估2活页训练 湘教版选修1-1
展开章末质量评估(二)(时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.抛物线y=x2的焦点坐标是 ( ).A.或 B.C.或 D.解析 把方程y=x2写成x2=ay,∴抛物线的焦点坐标是,故选B.答案 B2.以-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 ( ).A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析 方程可化为-=1,该方程对应的焦点为(0,±4),顶点为(0,±2).由题意知椭圆方程可设为+=1(a>b>0),则a=4,c2=a2-b2=12,∴b2=a2-12=16-12=4.∴所求方程为+=1.答案 D3.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是 ( ).A.x2-y2=8 B.x2-y2=4C.y2-x2=8 D.y2-x2=4解析 焦点为(-4,0),∴2a2=16,∴a=8.答案 A4.设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 ( ).A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析 焦点为(2,0),∴c=2.又=,∴a=4,∴b2=12.答案 B5.抛物线2y=x2上距离点A(0,a)(a>0)最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是( ).A.a>0 B.0≤a<C.a≥1 D.0<a≤1解析 设抛物线上任一点P(x0,y0),则|AP|====.因为y0≥0,若|AP|在y0=0时取最小值,则1-a≥0,所以a≤1,故0<a≤1.答案 D6.设F1,F2为双曲线x2-4y2=4a2(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足·=0,||·||=2,则a的值为 ( ).A.2 B. C.1 D.解析 双曲线为-=1,∵·=0,∴||2+||2=||2=4c2=20a2,即:(||-||)2+2||·||=20a2,∴16a2+4=20a2,∴a2=1,∵a>0,∴a=1.答案 C7.等轴双曲线x2-y2=a2截直线4x+5y=0所得的弦长为,则双曲线的实轴长是 ( ).A. B. C. D.3解析 直线4x+5y=0过原点,可设弦的一端为(x1,y1),则有 =,可得x=,取x1=,y1=-2,∴a2=-4=,∴|a|=,∴2|a|=3.答案 D8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是 ( ).A. B. C. D.解析 本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质.左焦点F (-c,0),右顶点A(a,0),不妨设点B在第二象限,则B(-c,),由=2得:xP-xA=2(xB-xP),代入坐标得,0-a=2(-c-0),所以e==.答案 D9.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则+等于 ( ).A.2a B. C.4a D.解析 如图所示,设PQ与x轴成θ角,焦点F到准线的距离为,∴p=-psin θ,∴p=,∴=2a(1+sin θ),q=+qsin θ,∴q=,∴=2a(1-sin θ),∴+=4a.答案 C10.已知点A(0,-3),B(2,3),点P在x2=y上,当△PAB的面积最小时,点P的坐标是 ( ).A.(1,1) B. C. D.(2,4)解析 因△PAB中,AB的长为定值,因此AB边上的高最小时,S△PAB的面积最小,平移直线AB使之与抛物线相切,此时两直线间的距离为P到AB距离的最小值.由题设条件得AB的方程为y=3x-3.即3x-y-3=0,设相切时直线方程为3x-y+m=0,则消去y得x2-3x-m=0,Δ=9+4m=0,∴m=-,进而求得x=,y=.答案 B二、填空题(每小题5分,共25分)11.椭圆+=1的焦距为2,则m=________.答案 5或312.过椭圆+=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A、B两点,右焦点为F2(c,0),则△ABF2的最大面积是______.解析 S△ABF2=S△OAF2+S△OBF2=c·|y1|+c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标),∴S△ABF2=c|y1-y2|≤c·2b=bc.答案 bc13.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.解析 设抛物线的方程为y2=2px(p>0).联立方程组整理得x2-2px=0.又∵直线与抛物线交于A,B两点,∴xA+xB=2p.又=2,∴2p=4,即抛物线C的方程为y2=4x.答案 y2=4x14.已知抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆+=1的左焦点,且两曲线的公共点的连线过F,则该椭圆的离心率为________.解析 由题意知:-=-①且=2p②由①②得:==c,∴b2=2ac,又a2=b2+c2,∴a2=2ac+c2即e2+2e-1=0,∴e=-1.答案 -115.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正方向的夹角为60°,则||为__________.解析 设A(x,y)(x>0,y>0),∴,解得∴||=p.答案 p三、解答题(共75分)16.(13分)已知双曲线与椭圆+=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为,求双曲线的方程.解 椭圆+=1的焦点为F1(0,-),F2(0,).离心率e=.∴双曲线的离心率=,又∵c=,∴a=3,∴b2=c2-a2=4,∴双曲线方程为-=1 17.(13分)如图,已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4.过椭圆焦点F1作一直线,交椭圆于两点M,N.(1)求椭圆的方程;(2)当∠F2F1M=时,求|MN|.解 (1)由题意知:2a=6,2c=4,∴b2=a2-c2=9-8=1,且焦点在x轴上,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)当∠F2F1M=时,直线MN的斜率k=1.又F1(-2,0),∴直线MN的方程为y=x+2.由得:10x2+36x+63=0.若M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.∴|MN|=·|x1-x2|=·=.即|MN|的长为.18.(13分)已知两点A(,0)、B(-,0),动点P在y轴上的射影为Q,·=22.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)设直线m过点A,斜率为k,当0<k<1时,曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为,试求k的值及此时点C的坐标.解 (1)设动点P的坐标为(x,y),则点Q(0,y),=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),·=x2-2+y2,因为·=22,所以x2-2+y2=2x2,即动点P的轨迹方程为y2-x2=2.(2)设直线m:y=k(x-)(0<k<1),依题意,点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上,设此直线为m1:y=kx+b,由=,得b2+2kb=2.①把y=kx+b代入y2-x2=2,整理,得(k2-1)x2+2kbx+(b2-2)=0.则Δ=4k2b2-4(k2-1)(b2-2)=0,即b2+2k2=2.②由①②得k=,b=,此时,由方程组⇒C(2,).19.(12分)如图所示,若椭圆+=1上存在两点A、B关于l:y=4x+m对称,求m的取值范围.解 设直线AB的方程为y=-x+n,由消去y得25x2-8nx+16n2-48=0.∵AB与椭圆有两公共点A、B,∴方程有两实根,∴Δ>0,即n2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,设AB中点M(x0,y0),则x0=n,y0=-x0+n=n.即M,又点M在直线y=4x+m上,∴n=+m,∴n=m,即2<,∴-<m<.20.(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2=-4x的焦点,离心率是双曲线x2-y2=4离心率的倒数.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,当点G的横坐标为-时,求直线l的方程.解 (1)由已知,得该椭圆的一个焦点坐标是F(-1,0),即c=1,双曲线x2-y2=4的离心率为,故椭圆的离心率为,即e==,故a=,从而b=1,所以椭圆的标准方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.∵直线AB过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根.记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x2=-,故x0==-,y0=k(x0+1)=.所以AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0),令y=0,得xG=x0+ky0=-+=-=-,解得k=±,故直线l的方程为y=±(x+1).21.(12分)如图所示,F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,)到F1、F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.解 (1)根据题意:2a=4,a=2,∴方程为+=1.又点(1,)在椭圆上,∴+=1,b2=3,∴椭圆C的方程为+=1, 焦点为F1(-1,0),F2(1,0).(2)∵kPQ=kAB=,∴直线PQ方程为y=(x-1).①设P(x1,y1),Q(x2,y2),法一 由①得x=y+1,∴3(y+1)2+4y2=12即8y2+4y-9=0,∴y1+y2=-,y1y2=-,(y1-y2)2=+=,∴S△F1PQ=·|F1F2|·|y1-y2|=×2×=.法二 直线PQ方程为x-2y-=0,F1到PQ距离d==,将y=(x-1)代入+=1得2x2-2x-3=0,x1+x2=1,x1x2=-,∴|PQ|= =,∴S=·d·|PQ|=××=.
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这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精练,共4页。试卷主要包含了求与圆A等内容,欢迎下载使用。