2012数学模块综合检测（湘教版选修1-2）

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．计算i＋i2＋i3＋i4的值是(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B．0

C．1   D．i

解析：选B.i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，因此选答案B.

2.

观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选A.由图形涉及三种符号▭、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．

3．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理得出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为(　　)

A．②①③   B．③①②

C．①②③   D．②③①

解析：选D.①是结论形式，③是小前提．

4．(2011年石河子调研)始祖鸟是一种已经灭绝的动物，在一次考古活动中，科学家发现了始祖鸟的化石标本共6个，其中5个同时保留有股骨(一种腿骨)和肱骨(上臂的骨头)，经研究表明，肱骨长度y与股骨长度x呈现近似的线性关系，其线性回归方程为y＝－3.660＋1.197x，还有1个化石标本不完整，只有股骨，没有肱骨，现测得股骨的长度为50 cm，则可以认为肱骨长度(　　)

A．一定是56.19 cm

B．一定大于56.19 cm

C．有很大的可能性在56.19 cm左右

D．一定小于56.19 cm

答案：C

5．下面四个在平面内成立的结论：①平行于同一条直线的两直线平行；②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条也垂直；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．

推广到空间后仍成立的是(　　)

A．①②   B．③④

C．①③   D．②④

解析：选A.③两条直线可能平行，相交或异面，④不一定成立．①②正确．

6．复数z满足|z|＝2，则复数z(　　)

A．是实数

B．是虚数

C．是纯虚数

D．对应的点在一个半径为2的圆上

解析：选D.设复数z＝x＋yi，则由|z|＝2，知＝2，

∴x2＋y2＝4.∴对应点在一个半径为2的圆上．

7．若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过(　　)

A．10亿元   B．9亿元

C．10.5亿元   D．9.5亿元

解析：选C.代入x＝10得y＝10＋e，

∵|e|≤0.5，∴y≤10.5，

故不会超过10.5亿元．

8．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)等于(　　)

A．13   B．2

C.   D.

解析：选C.考查函数的周期性，本题需要从已知式子f(x)·f(x＋2)＝13得到f(1)＝f(5)＝f(9)＝…，f(x)是周期为4的函数．故f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝.故选C.

9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人中至少有一个及格的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.甲及格记为事件A，乙及格记为事件B，丙及格记为事件C，则三人中至少有一个及格的概率为1－P()＝1－P()P()P()＝1－(1－)(1－)·(1－)＝1－＝.

10．如果执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出的数等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.k＝1，S＝＝，1＜5，进入循环；

k＝2，S＝＋＝＋＝，2＜5，进入循环；

k＝3，S＝＋＋＝，3＜5，进入循环；

k＝4，S＝＋＋＋＝，4＜5，进入循环；

k＝5，S＝＋＋＋＋＝，5＜5不成立．因此结束循环，S＝，故选D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)

11．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是直角”时的假设是________．

答案：三角形中至少有两个内角是直角

12．复数＋i2012对应的点位于复平面的第________象限．

解析：原式＝＋(i4)503

＝＋1

＝1－i.

其对应的点位于第四象限．

答案：四

13．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，xi∈{1,7,5,13,19}，则＝________.

解析：因为＝×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且＝1.5＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.

答案：58.5

14．由1，，，，，…归纳猜想第n项为________．

解析：各数可以写成：，，，，，…，所以an＝.

答案：

15．若三角形内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为________．

解析：将三角形内切圆扩展为四面体的内切球，边长扩展为面积，面积扩展为体积，于是得到一个类似的结论：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．

答案：若四面体内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．

证明：假设a、b、c、d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，

所以(a＋b)(c＋d)＝1.

又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，

所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾．

所以a、b、c、d中至少有一个是负数．

17．(本小题满分13分)设z＝＋i，求证：

(1)z2＝－；(2)z3＝－1.

证明：(1)z2＝2＝－＋i＝－＋i

＝－＝－，

即z2＝－，原式得证．

(2)z3＝2

＝＝－1，

即z3＝－1，原式得证．

18．(本小题满分13分)某超市为了了解啤酒销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出啤酒的瓶数与当天气温的对比表：

试判断啤酒销售量与气温之间是否具有线性相关关系．

解：＝×(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，

＝×(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，

iyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，

＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，

＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，

代入公式rxy＝＝，

得rxy≈－0.97.

所以啤酒销售量与气温之间具有很强的线性相关关系．

19．(本小题满分12分)已知等式：

sin25°＋cos235°＋sin5°cos35°＝，

sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，

sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，…，

由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．

解：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sinθcos(θ＋30°)＝.

证明如下：

sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sinθcos(θ＋30°)

＝sin2θ＋2＋sinθ

＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ－sin2θ＝.

20．(本小题满分12分)甲、乙两人分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)两人都射中的概率；

(2)两人中至少有1人射中的概率．

解：记“甲、乙两人各射击1次，甲射中目标”为事件A，“甲、乙两人各射击1次，乙射中目标”为事件B，由于甲、乙双方是否射中目标互不影响，因此A与B是相互独立事件．

(1)两人都射中的概率为

P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.

(2)法一：两人至少有1人射中包括“两人都中”和“两人有1人不中”两种情况，其概率为：

P(A∩B＋∩B＋A∩)＝P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.72＋0.2×0.9＋0.8×0.1＝0.98.

法二：“两人都未击中”的概率为

P(∩)＝0.2×0.1＝0.02，

“两人中至少有1人击中”与“两人都未击中”为对立事件，所以“两人至少有1人击中”的概率为1－P(∩)＝0.98.

21．(本小题满分12分)若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，

(1)，，时，分别比较和与2的大小关系；

(2)依据(1)得出的结论，提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．

解：(1)当时，＝1＋2＝3＞2，

＝＝1＜2；

当时，＝＝8＞2，

＝＜2；

当时，＝＜2，

＝＜2.

(2)命题：若x＞0，y＞0且x＋y＞2，则，至少有一个小于2.

证明：假设≥2，≥2，

∵x＞0，y＞0，

∴1＋y≥2x,1＋x≥2y.

∴2＋x＋y≥2x＋2y，

∴x＋y≤2.

这与已知x＋y＞2矛盾．

假设不成立．

∴和中至少有一个小于2.