2012数学第4章章末综合检测（湘教版选修1-2）

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．变量y对x的回归方程的意义是(　　)

A．表示y与x之间的函数关系

B．表示y与x之间的线性关系

C．反映y与x之间的真实关系

D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合

解析：选D.用回归方程预测变量y对x的不确定关系，反映的不是真实关系，而是真实关系达到最大限度的吻合．

2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是rxy，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有(　　)

A．b与rxy的符号相同　　　　　　 B．a与rxy的符号相同

C．b与rxy的符号相反   D．a与rxy的符号相反

解析：选A.因为b＞0时，两变量正相关，此时rxy＞0；b＜0时，两变量负相关，此时rxy＜0.

3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验并用回归分析方法分别求出相关系数r.如表：

试验结果体现A，B两变量有较强的线性相关性的是(　　)

A．甲   B．乙

C．丙   D．丁

解析：选D.根据线性相关的检验方法知，当|rxy|越趋近于1，两个变量的线性相关程度越高．

4．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)

A．事件A，B同时发生

B．事件A，B至少有一个发生

C．事件A，B至多有一个发生

D．事件A，B都不发生

解析：选C.事件A，B至多有一个发生的对立事件为A，B同时发生，概率为1－P(A)·P(B)，故选C.

5．下列说法中，正确的有(　　)

①事件A与B无关，即两个事件互不影响；

②若事件A与B关系越密切，则χ2就越大；

③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据；

④若事件A与B相关，则A发生B一定发生．

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选A.事件A与B无关，只是说明两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错；②是正确的；判断A与B是否相关的方法很多，可以用图表，也可以借助于概率运算，故③错；两事件A与B相关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．

6．某班级开会时决定是否增加一名新班委甲某，选举方式最能体现全体学生的真实意愿的是(　　)

A．请同意增选甲为新班委的举手

B．请不同意增选甲为新班委的举手

C．采用记名投票

D．采用无记名投票

答案：D

7．变量x、y具有线性相关关系，当x的取值为16,14,12,8时，通过观测得到y的值分别为11,9,8,5.若在实际问题中，y的最大取值是10，则x的最大取值不能超过(　　)

A．14   B．15

C．16   D．17

解析：选B.根据题意y与x呈正相关关系，由最小二乘法或计算器求得回归系数a≈－0.857，b≈0.729，

所以线性回归方程为y＝0.729x－0.857.

当y＝10时，得x≈15.

8．散点图在回归分析过程中的作用是(　　)

A．查找个体个数

B．比较个体数据大小关系

C．探究个体分类

D．粗略判断变量是否线性相关

解析：选D.散点图对相关关系的判断是粗略的，在一定程度上存在着误差，因此不能以散点图代替相关性分析．

9．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如表所示：

根据以上数据，则(　　)

A．性别与获取学位类别有关

B．性别与获取学位类别无关

C．性别决定获取学位的类别

D．以上都是错误的

解析：选A.法一：由列联表可得：博士：男性占≈77%，女性占≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关，故选A.

法二：由列表利用计算器可求得

χ2＝≈7.34，

因为P(χ2≥6.64)≈0.01，

所以有99%的把握说明性别与获取学位的类别有关，故选A.

10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于(　　)

A．2个球不都是红球的概率

B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率

D．2个球中恰有1个红球的概率

解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上)

11．某超市“十一”过后统计了最近6个月某种鲜牛奶的进价x(元)与售价y(元)的对应数据，如下表：

则＝________，＝________，x＝________，xiyi＝________，线性回归方程为__________________．

解析：由＝xi　＝yi

b＝＝，a＝－b可得．

答案：6.5　8　327　396　y＝0.571＋1.143x

12．为加强素质教育，使学生在各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：

在探究体育课成绩与文化课成绩是否有关时，根据以上数据可以得到χ2的值为________．(精确到0.001)

解析：χ2＝≈4.725.

答案：4.725

13．若施化肥量x千克与水稻产量y千克之间的线性回归方程为y＝5x＋250，则当施化肥量为80千克时，预计的水稻产量为________．

解析：将x＝80代入y＝5x＋250可得y＝650(千克)．

答案：650千克

14．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A∩)＝________，P(∩)＝________.

解析：∵A，B是相互独立事件，

∴A与，与B分别是相互独立事件．

故P(A∩)＝P(A)·P()＝P(A)(1－P(B))

＝＝，

P(∩)＝P()·P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝＝.

答案：　

15．若两个分类变量X与Y的列联表为：

则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率为________．

解析：由列联表数据，可求得随机变量χ2的观测值

χ2＝≈7.227＞6.64.

因为P(χ2≥6.64)≈0.01.

所以“X与Y之间有关系”出错的概率仅为0.01.

答案：0.01

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)某学生在上学路上要经过4个路口，设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，求这名学生在上学路上到第三个路口首次遇到红灯的概率．

解：设“该学生在上学路上到第i个路口遇到红灯”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，

则P＝P(∩∩A3)＝P()·P()·P(A3)

＝·＝.

即这个学生在上学路上到第三个路口首次遇到红灯的概率为.

17．(本小题满分13分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：

根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？

解：由公式χ2＝

＝≈9.638.

∵9.638＞6.64，

∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．

18．(本小题满分13分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.

(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？

(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．

解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．

(1)由已知得P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.05，

P(A∩C)＝P(A)P(C)＝0.1，

P(B∩C)＝P(B)P(C)＝0.125，

解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.

所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2、0.25、0.5.

(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，

于是P(A＋B＋C)＝1－P(∩∩)＝1－P()·P()·P()＝0.7.

所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.

19．(本小题满分12分)某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系：

(1)销售单价与日销售量具有怎样的相关关系？

(2)求x，y之间的线性回归方程；

(3)估计销售单价为多少元时，日利润最大？

(参考数据：xiyi－4 ＝－11，x－42＝5，y－4＝26)

解：(1)相关系数rxy＝＝

＝≈－0.9648.

这说明销售单价x与日销售量y是高度负相关的．

(2)由表格数据知＝6.5，＝7，根据参考数据

得b＝＝＝＝－2.2，

a＝－b＝7＋2.2×6.5＝21.3，

∴线性回归方程为y＝21.3－2.2x.

(3)当销售单价为x元时，利润为W＝(x－4)(－2.2x＋21.3)＝－2.2x2＋30.1x－85.2，

当x＝≈7时，日利润最大为

W＝≈17.7.

即当销售单价为7元时，日利润最大为17.7元．

20．(本小题满分12分)某药厂研制了一种抗中风的新药，在临床使用时得出以下统计数据：

根据表中数据能得出什么结论？

附：

解：对于男性患者，有

χ＝≈4.675.

因为4.675＞3.841，所以有95%的把握认为是否使用新药和痊愈有关．

对于女性患者，有

χ＝≈8.106.

因为8.106＞6.635，所以有99%的把握认为是否使用新药和痊愈有关．

21．(本小题满分12分)一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大．为调查这一问题，对10名高一男生的身高x与右手一拃长y测量得如下数据(单位：cm)：

(1)根据上述数据制作散点图，能发现两者有何近似关系？

(2)如果两者近似成线性关系，求线性回归方程；

(3)如果一个学生身高185 cm，估计他的右手一拃长．

解：(1)散点图如图所示．

可见，身高与右手一拃长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关．

(2)设线性回归方程为y＝bx＋a.

根据表格中数据，运用科学计算器计算，得

＝174.8，＝21.7，＝305730，iyi＝37986.

所以b＝＝≈0.303，

a＝－b≈－31.264.

所以线性回归方程为y＝0.303x－31.264.

(3)当x＝185时，y＝0.303×185－31.264＝24.791.

故该同学的右手一拃长估计为24.791 cm.